「さいころの問題は簡単なはずなのに、なぜか間違える」と感じていないだろうか。
目の出方を数え上げるだけのはずが、数え漏れや重複があったり、分母と分子を逆にしてしまったり。特に2つのさいころを投げる問題になると、急に正答率が下がる人が多い。
実は、さいころの確率問題でつまずく人の多くは、「すべての場合を正確に数える」という基本が曖昧なままである。この記事では、1つのさいころから2つのさいころまで、表や樹形図を使って確実に数え上げる方法を身につける。
そもそも確率とは？
確率とは、「ある出来事がどのくらい起こりやすいか」を数値で表したものである。
確率の値は0から1の間になる。0は「絶対に起こらない」、1は「必ず起こる」を意味する。
確率の基本公式は次の通りである。
例えば、さいころを1回投げて「3の目が出る確率」を求めてみよう。
- すべての場合の数：1, 2, 3, 4, 5, 6 の6通り
- 3の目が出る場合の数：1通り
よって、確率は次のようになる。
1つのさいころの確率を図で理解する
まず、1つのさいころの基本的な確率を視覚的に確認しよう。
ボタンを押すと、条件に合う目が強調表示される。確率の分子は「条件に合う目の数」、分母は「すべての目の数（6）」である。
2つのさいころの場合の数
2つのさいころを同時に投げるとき、出目の組み合わせは全部で何通りあるだろうか。
2つのさいころを区別する（例えば赤と白）と考えると、すべての場合が数えやすくなる。
1つ目のさいころが6通り、2つ目のさいころも6通りなので、
これを表にすると、次のようになる。
この表は「2つのさいころの出目表」と呼ばれる。36個のマスがすべての場合を表している。条件に合うマスを数えれば、確率の分子がわかる。
確率計算の手順
さいころの確率問題は、次の3ステップで解く。
1つのさいころなら6通り、2つなら36通りである。
表や樹形図を使って、漏れなく重複なく数える。
分子÷分母の分数にして、約分できるなら約分する。
例題：2つのさいころで和が6になる確率
2つのさいころを同時に投げるとき、出た目の和が6になる確率を求めよう。
（さいころ1, さいころ2）の形で書くと、
- (1, 5)：$1 + 5 = 6$
- (2, 4)：$2 + 4 = 6$
- (3, 3)：$3 + 3 = 6$
- (4, 2)：$4 + 2 = 6$
- (5, 1)：$5 + 1 = 6$
全部で 5通り
36と5には公約数がないので、これ以上約分できない。
和が6になる組み合わせは、(1,5)と(5,1)が別々に数えられることに注意。2つのさいころを区別しているからである。
和の確率をアニメーションで確認
2つのさいころの和が特定の値になる確率を、視覚的に確認しよう。
グラフを見ると、和が7になる確率が最も高い（6/36 = 1/6）ことがわかる。和が2や12になる確率は最も低い（1/36）。これは、和が7になる組み合わせが最も多いからである。
よくある間違いと対策
「(1, 2)と(2, 1)は同じ」と考えてしまう。
対策：2つのさいころは「赤と白」など、必ず区別して数える。すべての場合の数は36通りである。
頭の中だけで数えると、漏れや重複が起きやすい。
対策：必ず表や樹形図を書いて、視覚的に確認する。
6/36のまま答えにしてしまう。
対策：答えを書いたら、必ず約分できるか確認する。6/36 = 1/6
この単元のよくある質問
Q. なぜ2つのさいころを区別するのですか？
A. 区別しないと、すべての場合が同じ確率で起こるという前提が崩れてしまうからである。例えば「1と2の組み合わせ」は、区別すると(1,2)と(2,1)の2通りあるが、区別しないと1通りになる。しかし実際には、この組み合わせが出る可能性は「1と1」の組み合わせの2倍ある。正しく計算するために、2つのさいころは区別して数える。
Q. 「少なくとも1つが6」の確率はどう求めますか？
A. 「少なくとも〜」という条件は、余事象を使うと楽に求められる。「少なくとも1つが6」の余事象は「両方とも6でない」である。両方とも6でない確率は (5/6)×(5/6) = 25/36 なので、少なくとも1つが6の確率は 1 – 25/36 = 11/36 となる。
Q. 「3つのさいころ」の場合はどうなりますか？
A. 3つのさいころを投げる場合、すべての場合の数は 6×6×6 = 216通りとなる。表で表すことは難しいので、樹形図を使うか、条件に合う場合を系統的に書き出して数える。基本的な考え方は2つのさいころと同じで、分母を216として確率を求める。
練習問題
まとめ
この記事では、さいころの確率問題の解き方を学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 確率 = その出来事が起こる場合の数 ÷ すべての場合の数
- 2つのさいころは必ず区別して数える（すべての場合は36通り）
- 表を使って漏れなく重複なく数える
- 最後に約分を忘れない
表を書く習慣をつければ、どんな条件でも正確に数え上げることができる。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
コメント