確率の問題で「何通りあるか数えなさい」と言われても、どこから手をつければいいかわからない——そんな経験はないだろうか。
頭の中で数えようとすると、同じものを2回数えたり、逆に数え忘れたりしてしまう。結果、答えが合わず「自分は確率が苦手だ」と思い込んでしまう人は多い。
実は、樹形図という道具を使えば、場合の数を「もれなく・重複なく」数えることができる。この記事では、樹形図の書き方から確率の求め方まで、順を追って解説する。
そもそも樹形図とは？
樹形図とは、起こりうる結果を木の枝のように分岐させて描いた図のことである。
樹形とは「木の形」という意味である。図が木の枝分かれに似ていることから、この名前がついた。
例えば、コインを2回投げるとき、結果は次の4通りである。
- 1回目が表、2回目が表
- 1回目が表、2回目が裏
- 1回目が裏、2回目が表
- 1回目が裏、2回目が裏
これを頭の中だけで整理するのは難しい。しかし樹形図を使えば、すべての場合を見落とさずに書き出すことができる。
樹形図の書き方を図で理解する
コインを2回投げる例で、樹形図の書き方を見てみよう。
樹形図を書くときのポイントは3つある。
樹形図を使って確率を求める手順
確率とは、「ある出来事がどのくらい起こりやすいか」を数値で表したものである。
確率は0以上1以下の値をとる。確率が0なら「絶対に起こらない」、1なら「必ず起こる」という意味である。
確率は次の式で求める。
樹形図を使えば、この2つの数を正確に数えることができる。
例題：コインを2回投げて、少なくとも1回は表が出る確率
「少なくとも1回は表」とは、「1回以上表が出る」という意味である。つまり「全部裏」以外の場合すべてが当てはまる。
サイコロの問題で練習しよう
次は、サイコロを2回投げる問題を考えよう。樹形図が大きくなるが、考え方は同じである。
例題：サイコロを2回投げて、出た目の和が5になる確率
サイコロを2回投げると、全部で $6 \times 6 = 36$ 通りの結果がある。
和が5になるのは、$(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ の4通りである。
分数は必ず約分すること。$\dfrac{4}{36}$ は分子・分母を4で割ると $\dfrac{1}{9}$ になる。
よくある間違いと対策
樹形図を使った確率の問題では、次のような間違いが起こりやすい。
| 間違い | 原因 | 対策 |
|---|---|---|
| 場合の数を数え間違える | 頭の中だけで数えている | 必ず樹形図を書く |
| 「少なくとも」の意味を間違える | 「ちょうど」と混同している | 「1回以上」と読み替える |
| 約分を忘れる | 計算して満足してしまう | 答えを書く前に約分できるか確認 |
この単元のよくある質問
Q. 樹形図が大きくなりすぎて書ききれないときはどうすればいいですか？
A. 場合の数が多いときは、表を使う方法もある。例えばサイコロ2個なら、縦軸に1回目、横軸に2回目を取った $6 \times 6$ の表が便利である。ただし、3回以上の試行では樹形図の方が整理しやすいことが多い。
Q. 「少なくとも1回」と「ちょうど1回」は何が違いますか？
A. 「少なくとも1回」は「1回以上」という意味で、1回でも2回でも条件を満たす。「ちょうど1回」は「1回だけ」という意味で、2回起こった場合は含まない。問題文をよく読んで区別しよう。
Q. 確率が1を超えてしまったのですが、どこが間違っていますか？
A. 確率は必ず0以上1以下の値になる。1を超えた場合は、分子（条件に合う場合の数）と分母（すべての場合の数）を逆にしている可能性が高い。分母は「全体」、分子は「条件に合う部分」であることを確認しよう。
練習問題
まとめ
この記事では、樹形図を使った確率の求め方について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 樹形図は、すべての場合を「もれなく・重複なく」書き出すための道具である
- 確率は「条件に合う場合の数 ÷ すべての場合の数」で求める
- 「少なくとも1回」は「1回以上」と読み替える
- 答えは必ず約分して、最も簡単な分数で表す
樹形図を正確に書けるようになれば、確率の問題は怖くない。まずは簡単な例から、何度も練習してみよう。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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