「表を見て、$x$ と $y$ の関係を式にしなさい」──このタイプの問題で手が止まった経験はないだろうか。
表の数字を眺めているだけでは、規則性は見えてこない。「$x$ が1増えると $y$ はいくつ変わるか」を意識しないまま解こうとして、迷子になる人が多い。
実は、表から1次関数を見つける手順は決まっている。この記事では、表の見方から式の立て方まで、順を追って解説する。
そもそも「1次関数の値の変化」とは？
1次関数 $y = ax + b$ では、$x$ の値が変わると $y$ の値も変わる。このとき、$x$ が1増えるごとに $y$ がいくつ増える（または減る）かが一定になる。この「一定の変化量」こそが傾き $a$ である。
傾きとは、グラフの「右に1進んだときの、上下の移動量」のことである。$a > 0$ なら右上がり、$a < 0$ なら右下がりになる。
例えば、$y = 2x + 3$ の場合、$x$ が1増えると $y$ は2増える。傾きは2である。
| $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| $y$ | 3 | 5 | 7 | 9 |
$y$ の値を見ると、3→5→7→9と、2ずつ増えている。この「2」が傾きである。
表の規則性を図で理解する
表の見方のコツは、「$x$ の増加量」と「$y$ の増加量」を並べて書くことである。以下のアニメーションで確認しよう。
アニメーションで確認したように、$x$ が1増えるごとに $y$ が2増えている。この「2」が傾き $a$ である。
傾き $a$ は「$y$ の増加量 ÷ $x$ の増加量」で計算できる。この例では $a = 2 \div 1 = 2$ である。
表から1次関数を求める手順
表から1次関数 $y = ax + b$ を求めるには、次の3つのステップを踏む。
傾き $a$ を求める
「$x$ が1増えたとき、$y$ はいくつ増えるか」を調べる。
切片 $b$ を求める
$x = 0$ のときの $y$ の値が切片である。表に $x = 0$ があればそのまま読み取る。
式にまとめる
$y = ax + b$ の形に書く。
切片とは、グラフが $y$ 軸と交わる点の $y$ 座標のことである。$x = 0$ を代入したときの $y$ の値と同じ。
例題で確認しよう
次の表から、$y$ を $x$ の式で表してみよう。
| $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| $y$ | 3 | 5 | 7 | 9 |
ステップ1：傾き $a$ を求める
$x$ が0→1→2→3と1ずつ増えている。それに対応して $y$ は3→5→7→9と変化している。
ステップ2：切片 $b$ を求める
表を見ると、$x = 0$ のとき $y = 3$ である。よって切片 $b = 3$ 。
ステップ3：式にまとめる
$x = 0$ が表にない場合
表に $x = 0$ がないときは、傾きを使って逆算する。
| $x$ | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| $y$ | 11 | 14 | 17 | 20 |
ステップ1：傾きを求める
ステップ2：$x = 0$ のときの $y$ を逆算する
$x = 2$ のとき $y = 11$ である。$x$ が2から0まで「2減る」と、$y$ は「$3 \times 2 = 6$減る」。
または、$y = ax + b$ に $a = 3$ と $(x, y) = (2, 11)$ を代入して $b$ を求めてもよい。$11 = 3 \times 2 + b$ より $b = 5$。
ステップ3：式にまとめる
傾きが負（マイナス）の場合
$y$ が減っていく表もある。その場合、傾きは負の数になる。
$y$ が10→7→4→1と3ずつ減っている。傾き $a = -3$ である。$x = 0$ のとき $y = 10$ なので、式は $y = -3x + 10$ となる。
よくある間違いと対策
$x$ の増加量を確認しない
$x$ が1ずつ増えていると決めつけてはいけない。$x$ が2ずつ増えているなら、傾きの計算で「$\div 2$」が必要である。
符号のミス
$y$ が減っているのに傾きをプラスにしてしまう。「$y$ が減る＝傾きはマイナス」と覚えよう。
切片と傾きを逆にする
$y = ax + b$ の $a$ が傾き、$b$ が切片である。「$a$ は変化の量」「$b$ は $x = 0$ の値」と区別しよう。
この単元のよくある質問
Q. 表の数値が整数でないときも同じ方法で解けますか？
A. 同じ方法で解ける。傾き $a = \dfrac{y\text{の増加量}}{x\text{の増加量}}$ の計算結果が分数や小数になることがあるが、手順は同じである。
Q. 表が1次関数かどうかを見分ける方法はありますか？
A. $x$ の増加量が一定のとき、$y$ の増加量も一定であれば1次関数である。もし $y$ の増加量がバラバラなら、1次関数ではない。
Q. 傾きが0になることはありますか？
A. ある。$y$ の値が変化せず一定のとき、傾き $a = 0$ となる。このとき式は $y = b$（$x$ がどんな値でも $y$ は一定）という形になる。
練習問題
| $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| $y$ | −2 | 1 | 4 | 7 |
| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| $y$ | 8 | 6 | 4 | 2 |
| $x$ | 0 | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| $y$ | 5 | 9 | 13 | 17 |
まとめ
この記事では、表から1次関数を求める方法を学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 傾き $a$ は「$y$ の増加量 ÷ $x$ の増加量」で求める
- 切片 $b$ は $x = 0$ のときの $y$ の値（表になければ逆算）
- $y$ が減っていたら傾きはマイナスになる
表の見方に慣れれば、グラフを描かなくても式がすぐに立てられるようになる。繰り返し練習して、手順を身につけよう。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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