【空間図形】角錐の高さと体積｜三平方の定理で求める【中3数学】【必須】

そもそも角錐とは？

角錐とは、底面が多角形で、頂点ちょうてんが1つに集まっている立体である。底面が三角形なら三角錐さんかくすい、四角形なら四角錐しかくすいと呼ぶ。

「錐」という字は「きり（穴をあける道具）」を意味する。先がとがった形をしているから、この名前がついている。

角錐の体積を求める公式こうしきは次の通りである。

角柱の体積が「底面積 × 高さ」であるのに対し、角錐は $\dfrac{1}{3}$ をかける。同じ底面と高さなら、角錐は角柱の3分の1の体積になる。

この公式を使うには、高さが必要である。しかし問題では、高さが直接与えられないことが多い。そこで三平方の定理を使う。

角錐の高さを図で理解する

四角錐を例に、高さがどこにあるかを確認しよう。

上の図で赤い線が「高さ $h$」である。高さとは、頂点Oから底面に垂直すいちょくに下ろした線の長さのことである。

底面が正方形や長方形の場合、高さの足H（垂線の足）は対角線の交点になる。底面が正三角形の場合は、重心の位置になる。

高さを求める手順

角錐の高さを求めるには、三平方の定理を使う。具体的な例題で手順を確認しよう。

例題

底面が1辺6cmの正方形、側面そくめんの稜りょう（頂点から底面の頂点までの辺）の長さがすべて7cmである四角錐の高さと体積を求めよ。

稜とは、立体の辺のことである。この問題では、頂点Oから底面の各頂点A, B, C, Dまでの長さが全て7cmということである。

手順の整理

角錐の高さと体積を求める手順をまとめると、次のようになる。

よくある間違いと対策

角錐の高さを求める際に、多くの人がつまずくポイントを確認しておこう。

間違い①：稜の長さを高さだと思ってしまう

稜（OAなど）と高さ（OH）は違う。稜は斜めの辺であり、高さは底面に垂直な線である。

「高さ」という言葉が出てきたら、必ず「底面に垂直」であることを意識しよう。

間違い②：AHの長さを「底面の1辺÷2」と計算してしまう

AHは対角線ACの半分であって、底面の1辺の半分ではない。

1辺が $a$ の正方形の場合、

• 対角線の長さ：$a\sqrt{2}$
• AH（対角線の半分）：$\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

間違い③：体積の公式で $\dfrac{1}{3}$ を忘れる

角柱は「底面積 × 高さ」だが、角錐は必ず $\dfrac{1}{3}$ をかける。

「錐」がついたら $\dfrac{1}{3}$、「柱」なら $\dfrac{1}{3}$ は不要。この区別を覚えておこう。

練習問題