球の表面積を求めよと言われて、公式は覚えているのに実際の計算で手が止まってしまう——そんな経験はないだろうか。
「$4\pi r^2$ は知っているけど、$r$ に何を代入するのかわからない」「半径と直径を間違えてしまう」「計算の途中で $\pi$ の扱いに迷う」——これらはすべて、公式の意味を理解しないまま丸暗記していることが原因である。
この記事では、球の表面積の公式がなぜそうなるのかを図解し、実際の計算手順を一つずつ確認する。読み終わるころには、どんな半径の球でも迷わず表面積を求められるようになる。
そもそも球とは？
まず、球という立体の定義を確認しよう。
球とは、ある1点（中心）から等しい距離にある点をすべて集めた立体のことである。ボールやシャボン玉、地球儀などが身近な例だ。
球には以下の特徴がある。
- 中心：球のちょうど真ん中にある点
- 半径：中心から球の表面までの距離（記号は $r$）
- 直径：球を中心を通る直線で切ったときの幅（半径の2倍、つまり $2r$）
例えば、半径が $5$ cm の球なら、中心からどの方向に測っても表面までの距離は $5$ cm である。直径は $5 \times 2 = 10$ cm となる。
球の表面積の公式
球の表面積を求める公式は以下の通りである。
ここで、
- $S$ ：表面積
- $\pi$ ：円周率（約 $3.14$）
- $r$ ：球の半径
「$4\pi r^2$」を声に出して読むと「よんパイアールにじょう」となる。「4」「$\pi$」「$r^2$」の3つを掛け合わせる形である。
具体的な数値で確認しよう。半径 $r = 3$ cm の球の表面積は、
このように、半径を2乗して、それに $4\pi$ を掛ければ表面積が求まる。
公式を図で理解する
なぜ表面積が $4\pi r^2$ になるのか、イメージをつかもう。
実は、球の表面積は「同じ半径の円の面積の4倍」に等しい。
円の面積は $\pi r^2$ である。これが4つ分で $4\pi r^2$ となり、球の表面積と一致する。
この関係を使って公式を覚えると忘れにくい。「球の表面は、同じ大きさの円4枚分」と覚えよう。
球の表面積を求める手順
実際に球の表面積を計算する手順を確認しよう。
問題文から半径の値を読み取る。直径が与えられている場合は、2で割って半径を求める。
$r^2$ を計算する。例えば $r = 5$ なら $r^2 = 25$ となる。
2乗した値に $4\pi$ を掛けて、$S = 4\pi r^2$ の形で答える。
例題で練習しよう
例題1：半径が与えられている場合
問題：半径 $6$ cm の球の表面積を求めよ。
解答：
公式 $S = 4\pi r^2$ に $r = 6$ を代入する。
答え：$144\pi$ cm²
例題2：直径が与えられている場合
問題：直径 $10$ cm の球の表面積を求めよ。
解答：
まず、直径から半径を求める。
公式 $S = 4\pi r^2$ に $r = 5$ を代入する。
答え：$100\pi$ cm²
例題3：数値で答える場合
問題：半径 $4$ cm の球の表面積を求めよ。ただし、円周率は $3.14$ とする。
解答：
まず $\pi$ をつけたまま計算する。
次に $\pi = 3.14$ を代入する。
答え：$200.96$ cm²
よくある間違いと対策
球の表面積の計算でつまずきやすいポイントを確認しよう。
間違い1：直径をそのまま代入してしまう
間違い例：直径 $8$ cm の球で、$S = 4\pi \times 8^2 = 256\pi$ としてしまう。
正しい計算：
公式の $r$ は必ず「半径」である。問題文で「直径」と書かれていたら、必ず2で割ってから代入しよう。
間違い2：$4\pi r^2$ を $4\pi r \times 2$ と計算してしまう
間違い例：$r^2$（アールの2乗）を $r \times 2$ と勘違いする。
正しい理解：$r^2 = r \times r$ である。例えば $r = 3$ なら $r^2 = 3 \times 3 = 9$ となる。
間違い3：体積の公式と混同する
球には表面積と体積の2つの公式がある。
| 求めるもの | 公式 |
|---|---|
| 表面積 | $S = 4\pi r^2$ |
| 体積 | $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ |
表面積は「面の広さ」なので $r^2$（2乗）、体積は「空間の大きさ」なので $r^3$（3乗）と覚えよう。
この単元のよくある質問
Q. なぜ球の表面積は円の面積の「4倍」なのですか？
A. これは数学的に証明できる事実である。球を薄い輪切りにして、それらの帯の面積を全部足し合わせると、ちょうど円の面積の4倍（$4\pi r^2$）になる。中学では証明より公式の使い方を優先して覚えよう。
Q. 答えを $\pi$ をつけたまま書いてもいいですか？
A. 問題文に「$\pi$ を使って答えよ」「円周率は $3.14$ とする」などの指示がなければ、$\pi$ をつけたまま答えるのが一般的である。例えば「$36\pi$ cm²」のように書く。
Q. 半球の表面積はどう求めますか？
A. 半球は「球を半分に切った形」である。表面積は「曲面部分」＋「切り口の円」で求める。曲面部分は $4\pi r^2 \div 2 = 2\pi r^2$、切り口の円は $\pi r^2$ なので、合計 $3\pi r^2$ となる。
練習問題
まとめ
この記事では、球の表面積の公式と計算方法について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 球の表面積の公式は $S = 4\pi r^2$
- 直径が与えられたら、2で割って半径にしてから代入する
- 「球の表面は、同じ半径の円4枚分」と覚えると忘れにくい
- 表面積は $r^2$、体積は $r^3$ で区別する
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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