角錐や円錐の表面積を求める問題で、「どこをどう計算すればいいのかわからない」と困っていないだろうか。
展開図を描いても、側面がどんな形になるのかイメージできない。公式を覚えても、なぜその式になるのか納得できない。そんな声をよく聞く。
実は、角錐・円錐の表面積は「底面積＋側面積」という単純な足し算である。側面の形さえ理解すれば、迷わず解けるようになる。
この記事では、展開図のアニメーションを使って側面の形を視覚的に確認し、表面積の求め方を順を追って解説する。
そもそも表面積とは？
表面積とは、立体の表面全体の面積のことである。立体を紙で包むときに必要な紙の面積、とイメージするとわかりやすい。
角錐とは、底面が多角形で、側面がすべて三角形の立体である。円錐とは、底面が円で、側面が曲面の立体である。
角錐・円錐の表面積は、次の式で求められる。
底面積は底の部分の面積、側面積は横の部分すべての面積である。この2つを別々に求めて足せばよい。
角錐の表面積を図で理解する
まず、四角錐を例に考えよう。四角錐の展開図を見ると、側面の形がはっきりわかる。
展開図からわかるように、四角錐の側面は4つの三角形からできている。つまり、四角錐の表面積は次のように求める。
一般に、$n$角錐の側面は$n$個の三角形からなる。三角錐なら3つ、五角錐なら5つの三角形である。
円錐の表面積を図で理解する
次に、円錐の展開図を見てみよう。円錐の側面は、展開すると扇形になる。
母線とは、円錐の頂点から底面の円周上の点までの線分のことである。展開図では、扇形の半径が母線の長さになる。
円錐の側面積を求める公式は次の通りである。
ここで、$r$ は底面の半径、$\ell$ は母線の長さである。
なぜ $\pi r \ell$ になるのか
この公式がどこから出てくるのか、順を追って確認しよう。
側面の扇形の弧の長さは、底面の円周と等しい。
扇形の半径は母線 $\ell$ である。
扇形の面積の公式「$\dfrac{1}{2} \times \text{弧の長さ} \times \text{半径}$」を使う。
扇形の面積 $= \dfrac{1}{2} \times$ 弧の長さ $\times$ 半径 という公式は、三角形の面積公式（$\dfrac{1}{2} \times$ 底辺 $\times$ 高さ）と似た形をしている。
角錐の表面積を求める手順
四角錐を例に、表面積の求め方を確認しよう。
例題：底面が1辺 6 cm の正方形、斜高（側面の三角形の高さ）が 10 cm の正四角錐の表面積を求めよ。
斜高とは、側面の三角形において、頂点から底辺に下ろした垂線の長さである。
底面積を求める
底面は1辺 6 cm の正方形である。
側面の三角形1つの面積を求める
底辺 6 cm、高さ（斜高）10 cm の三角形である。
側面積を求める
側面の三角形は4つある。
表面積を求める
答え：156 cm²
円錐の表面積を求める手順
次に、円錐の表面積を求めてみよう。
例題：底面の半径が 3 cm、母線の長さが 5 cm の円錐の表面積を求めよ。
底面積を求める
底面は半径 3 cm の円である。
側面積を求める
公式 $\pi r \ell$ を使う。$r = 3$、$\ell = 5$ である。
表面積を求める
答え：$24\pi$ cm²
よくある間違いと対策
母線と高さを間違える
円錐の側面積の公式 $\pi r \ell$ で使うのは母線 $\ell$ であって、高さではない。母線は斜めの線、高さは垂直な線である。問題文をよく読み、どちらの長さが与えられているか確認しよう。
底面積を忘れる
側面積だけ計算して終わりにしてしまうミスが多い。表面積 $=$ 底面積 $+$ 側面積であることを忘れずに。
角錐で側面の数を間違える
四角錐なら側面は4つ、三角錐なら3つ、五角錐なら5つ。底面の辺の数だけ側面の三角形がある。
公式まとめ
| 立体 | 底面積 | 側面積 |
|---|---|---|
| 角錐 | 底面の多角形の面積 | 側面の三角形の面積の合計 |
| 円錐 | $\pi r^2$（$r$：底面の半径） | $\pi r \ell$（$\ell$：母線） |
この単元のよくある質問
Q. 母線の長さが与えられていないときはどうすればいいですか？
A. 円錐の高さと底面の半径がわかれば、三平方の定理で母線を求められる。母線を $\ell$、高さを $h$、底面の半径を $r$ とすると、$\ell^2 = h^2 + r^2$ が成り立つ。例えば、高さ 4 cm、半径 3 cm なら、$\ell = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$ cm となる。
Q. 円錐の側面積の公式 $\pi r \ell$ はどうやって覚えればいいですか？
A. 「底面の円周の半分 × 母線」と覚えるとよい。底面の円周は $2\pi r$ なので、その半分 $\pi r$ に母線 $\ell$ をかけると $\pi r \ell$ になる。また、展開図の扇形をイメージして「弧の長さ × 半径 ÷ 2」と覚える方法もある。
Q. 正四角錐の斜高はどうやって求めますか？
A. 正四角錐の高さと底面の1辺の長さがわかれば求められる。高さを $h$、底面の1辺を $a$ とすると、斜高 $= \sqrt{h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2}$ となる。これは、頂点から底面の辺の中点までの距離を三平方の定理で求めている。
練習問題
まとめ
この記事では、角錐・円錐の表面積の求め方を学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 表面積 $=$ 底面積 $+$ 側面積
- 角錐の側面は三角形。底面が $n$ 角形なら側面は $n$ 個の三角形
- 円錐の側面積は $\pi r \ell$（$r$：底面の半径、$\ell$：母線）
- 母線と高さを混同しないこと
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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