「円に内接する四角形」と聞いて、どこから手をつければいいかわからないと感じていないだろうか。
公式を丸暗記しようとしても、なぜその性質が成り立つのかがわからず、問題を解くときに自信が持てない。そんな経験をした人は多いはずである。
実は、この性質は円周角の定理をしっかり理解していれば、自然と導けるものである。この記事では、円に内接する四角形の「対角の和が180°」という性質を、図とアニメーションで順を追って解説する。
そもそも「円に内接する四角形」とは？
円に内接する四角形とは、4つの頂点すべてが同じ円周上にある四角形のことである。
「内接」とは、図形が円の内側にあり、かつ円周にぴったり接している状態を指す。四角形の場合、4つの頂点すべてが円周上にあれば「円に内接している」と言う。
例えば、下の図の四角形ABCDは、すべての頂点A, B, C, Dが円Oの円周上にある。このような四角形を「円に内接する四角形」または「内接四角形」と呼ぶ。
対角の和が180°になる理由
円に内接する四角形には、次の重要な性質がある。
つまり、向かい合う角（対角）の和は必ず180°になる。
なぜこの性質が成り立つのか、円周角の定理を使って説明しよう。
円周角の定理を思い出そう
円周角の定理：同じ弧に対する円周角は、中心角の半分に等しい。また、同じ弧に対する円周角はすべて等しい。
内接四角形ABCDにおいて、対角線BDを引いてみよう。
- ∠Aは、弧BCDに対する円周角である
- ∠Cは、弧BADに対する円周角である
ここで重要なのは、弧BCDと弧BADを合わせると円周全体になるということである。
証明の流れ
弧BCDに対する中心角を $2\alpha$、弧BADに対する中心角を $2\beta$ とする。
円周全体の中心角は360°だから
円周角は中心角の半分だから
よって
同様に、∠Bと∠Dについても対角の和が180°になることが示せる。
公式として覚えよう
円に内接する四角形ABCDにおいて、次の性質が成り立つ。
この性質は「内接四角形の定理」と呼ばれることもある。対角の和が180°になるのは、円周角の定理から導かれる必然的な結果である。
逆も成り立つ
実は、この定理の逆も成り立つ。
四角形の対角の和が180°ならば、その四角形は円に内接する。
つまり、ある四角形ABCDにおいて ∠A + ∠C = 180° が成り立てば、4つの頂点を通る円が存在することがわかる。
この逆の性質は、「4点が同一円周上にあること」を示す問題で使われることがある。
例題で確認しよう
次の問題を通じて、内接四角形の性質を使う練習をしよう。
円に内接する四角形ABCDにおいて、∠A = 65°、∠B = 110° のとき、∠C と ∠D を求めよ。
解き方
∠Cを求める。∠Aと∠Cは対角だから
∠Dを求める。∠Bと∠Dは対角だから
答え：∠C = 115°、∠D = 70°
よくある質問と答え
Q. 内接四角形はどんな四角形でもいいのですか？
A. いいえ、円に内接できる四角形は限られている。対角の和が180°という条件を満たす四角形だけが円に内接できる。例えば、一般的な平行四辺形は円に内接しないが、長方形（対角の和が180°）は内接できる。
Q. 隣り合う角の和は180°になりますか？
A. いいえ、必ずしもそうとは限らない。180°になるのは「対角」（向かい合う角）の和である。隣り合う角の和は、四角形の形によって異なる値になる。
Q. なぜ円周角の定理が関係するのですか？
A. 内接四角形の対角は、それぞれ異なる弧に対する円周角になっている。2つの弧を合わせると円周全体になるため、対応する中心角の和は360°になる。円周角は中心角の半分なので、対角の和は180°になる。
よくある間違いと対策
隣り合う角の和を180°と勘違い
対角（向かい合う角）の和が180°である。隣り合う角ではない。図を描いて「向かい合っている角」を確認する習慣をつけよう。
内接していない四角形に適用してしまう
この性質は「円に内接する四角形」だけに成り立つ。問題文に「円に内接する」と書いてあるか確認しよう。
どの角とどの角が対角か混乱する
四角形ABCDでは、AとC、BとDが対角である。頂点の名前をアルファベット順に追って、1つ飛ばした組が対角である。
練習問題
まとめ
この記事では、円に内接する四角形の性質について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 円に内接する四角形とは、4つの頂点すべてが同じ円周上にある四角形である
- 内接四角形では、対角（向かい合う角）の和が180°になる
- この性質は円周角の定理から導かれる
- 逆に、対角の和が180°ならその四角形は円に内接する
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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