「この4点は同じ円の上にあるか？」と聞かれて、困った経験はないだろうか。
円周角の定理は知っている。でも、その「逆」を使って4点が同一円周上にあることを証明するとなると、どう考えればいいかわからない。そんな声をよく聞く。
実は、円周角の定理の逆は「2点から見た角度が等しければ、4点は同じ円上にある」というシンプルなルールである。この記事では、なぜそう言えるのかを図解し、証明問題で使えるようになるまで順を追って解説する。
そもそも「円周角の定理の逆」とは？
まず、円周角の定理を思い出そう。
円周角の定理とは、「同じ弧に対する円周角は等しい」という定理である。つまり、円周上のどこから弧を見ても、その角度は同じになる。
円周角の定理の逆は、次のように言い換えられる。
2点 A, B に対して、同じ側にある2点 P, Q が
$$\angle APB = \angle AQB$$を満たすとき、4点 A, B, P, Q は同一円周上にある。
言葉で言うと、「線分ABを同じ側から見たとき、Pから見た角度とQから見た角度が等しければ、4点は同じ円の上にある」ということだ。
この性質を使って、4点が同じ円上にあることを共円と呼ぶことがある。「共に円の上にある」という意味である。
円周角の定理の逆を図で理解する
なぜ角度が等しいと同じ円上にあると言えるのか。図を見ながら考えよう。
アニメーションの流れを説明しよう。
なぜ「逆」が成り立つのか
円周角の定理の逆がなぜ成り立つのか、もう少し詳しく見てみよう。
「定理の逆」とは、もとの定理の条件と結論を入れ替えたものである。もとの定理が正しくても、逆が正しいとは限らない。しかし、円周角の定理の逆は正しいことが証明されている。
直感的な理解としては、次のように考えるとよい。
証明問題での使い方
実際の問題では、次の手順で使う。
例題：4点が同一円周上にあることを示す
具体的な例題で確認しよう。
問題：四角形ABCDにおいて、∠DAB = ∠DCB であるとき、4点A, B, C, Dは同一円周上にあることを証明せよ。
解答
「同じ側にある」という条件は大切である。反対側にある場合は、この定理を直接使えない。
よくある間違いと対策
円周角の定理の逆を使うとき、間違えやすいポイントを確認しよう。
「∠APB = ∠AQB」と書くとき、線分ABを見ていることを明確にする。P, Qがどこから見ているかをはっきり示そう。
円周角の定理の逆は、2点が線分に対して同じ側にあるときのみ使える。反対側にある場合は、別の補助線や考え方が必要になる。
「∠APB = ∠AQB」であることを、なぜそう言えるのか明記する。仮定なのか、計算結果なのかを明確に。
円周角の定理の逆の別の表現
円周角の定理の逆は、次のような形で出題されることもある。
別の表現：四角形ABCDにおいて、対角の和が180°であるとき、4点は同一円周上にある。
これは、円に内接する四角形の性質（対角の和が180°）の逆である。
内接とは、図形のすべての頂点が円周上にあることをいう。
この単元のよくある質問
Q. 円周角の定理の逆はどんなときに使うのですか？
A. 4点が同一円周上にあることを証明したいときに使う。2点から同じ線分を見た角度が等しければ、4点は同じ円上にある。
Q. 「同じ側にある」とはどういう意味ですか？
A. 線分ABを引いたとき、その線分を境に平面が2つの部分に分かれる。点Pと点Qが同じ部分にあるとき、「同じ側にある」という。反対側にある場合は、この定理を直接適用できない。
Q. 対角の和が180°になることと、円周角の定理の逆はどう関係していますか？
A. どちらも4点が同一円周上にあることを示す方法である。円周角の定理の逆は「同じ弧を見る角度が等しい」、対角の和は「円に内接する四角形の性質」を使う。問題によって使いやすい方を選ぶ。
練習問題
まとめ
この記事では、円周角の定理の逆について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 円周角の定理の逆：2点から同じ線分を見た角度が等しければ、4点は同一円周上にある
- 「同じ側にある」という条件を忘れないこと
- 対角の和が180°であることも、4点が同一円周上にある条件として使える
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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