「相似比が $2:3$ のとき、体積比は $8:27$ になる」と言われて、なぜそうなるのかすぐに説明できるだろうか。
面積比は2乗、体積比は3乗と覚えたものの、問題を解くときに「あれ、どっちだっけ？」と迷う人は多い。公式を丸暗記しているだけでは、応用問題で手が止まってしまう。
実は、体積比が3乗になる理由は「縦・横・高さの3方向すべてが相似比で変わるから」という単純な話である。この記事では、なぜ体積比が相似比の3乗になるのかを図解で理解し、確実に使えるようになるまで解説する。
そもそも相似比と体積比の関係とは？
2つの立体が相似であるとき、対応する辺の長さの比を相似比という。
相似とは、形が同じで大きさだけが異なる関係のことである。拡大コピーや縮小コピーのイメージだ。
相似比と体積比の関係は、次の公式で表される。
具体的な数値で見てみよう。
| 相似比 | 体積比 |
|---|---|
| $1 : 2$ | $1^3 : 2^3 = 1 : 8$ |
| $2 : 3$ | $2^3 : 3^3 = 8 : 27$ |
| $1 : 3$ | $1^3 : 3^3 = 1 : 27$ |
| $3 : 5$ | $3^3 : 5^3 = 27 : 125$ |
相似比が $1:2$ のとき、体積は $1:8$ と8倍も違う。相似比が少し変わるだけで、体積は大きく変わることがわかる。
体積比が3乗になる理由を図で理解する
なぜ体積比が相似比の3乗になるのか。直方体を例に考えてみよう。
下の図は、相似比 $1:2$ の2つの直方体である。小さい方の辺の長さを $a$、$b$、$c$ とすると、大きい方はすべて2倍の $2a$、$2b$、$2c$ になる。
それぞれの体積を計算してみよう。
小さい直方体の体積は $a \times b \times c = abc$
大きい直方体の体積は $2a \times 2b \times 2c = 8abc$
体積比は $abc : 8abc = 1 : 8 = 1^3 : 2^3$
縦・横・高さの3方向すべてが2倍になるから、体積は $2 \times 2 \times 2 = 8$ 倍になる。これが「3乗」の正体である。
面積比が2乗になるのは、縦と横の2方向が変わるからである。体積比が3乗になるのは、3方向が変わるからだ。
相似比から体積比を求める手順
相似比がわかっているとき、体積比を求める手順は次の通りである。
相似比を $m : n$ の形で確認する
$m$ と $n$ をそれぞれ3乗する
体積比は $m^3 : n^3$
例題1：相似比から体積比を求める
問題：相似な2つの円錐A、Bがあり、相似比は $2:5$ である。体積比を求めよ。
答え：$8 : 125$
例題2：体積比から相似比を求める
逆に、体積比から相似比を求めることもある。その場合は立方根（3乗根）を使う。
立方根とは、3乗して元の数になる数のことである。例えば、$8$ の立方根は $2$（$2^3=8$）である。
問題：相似な2つの立方体A、Bがあり、体積比は $1:27$ である。相似比を求めよ。
答え：$1 : 3$
面積比と体積比の違いを整理する
相似比・面積比・体積比の関係をまとめておこう。
| 種類 | 公式 | 覚え方 |
|---|---|---|
| 相似比 | $m : n$ | 長さは1方向 |
| 面積比 | $m^2 : n^2$ | 縦×横の2方向 |
| 体積比 | $m^3 : n^3$ | 縦×横×高さの3方向 |
よくある質問と答え（FAQ）
Q. 相似比が $1:2$ のとき、体積は何倍になりますか？
A. 体積は $2^3 = 8$ 倍になります。相似比の大きい方の数を3乗した値が、体積の倍率です。
Q. 面積比と体積比を混同してしまいます。どう区別すればいいですか？
A. 「面積は2次元だから2乗、体積は3次元だから3乗」と覚えましょう。面積は縦×横の2方向、体積は縦×横×高さの3方向が変わるからです。
Q. 相似比が分数のとき（例えば $\frac{2}{3}$）はどうしますか？
A. 分数のまま3乗します。$\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$ となり、体積比は $8:27$ です。比の形 $2:3$ で考えても同じ結果になります。
練習問題
まとめ
この記事では、相似比と体積比の関係について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 相似比が $m:n$ のとき、体積比は $m^3:n^3$（3乗の関係）
- 体積比が3乗になる理由は、縦・横・高さの3方向すべてが相似比で変わるから
- 面積比は2乗（2方向）、体積比は3乗（3方向）と覚える
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
コメント