「平行四辺形であることを証明せよ」という問題を見て、何から手をつければいいかわからなくなった経験はないだろうか。
辺の長さを調べるのか、角度を測るのか、対角線を見るのか。選択肢が多すぎて迷ってしまう人は少なくない。
実は、平行四辺形になる条件は5つしかない。この5つを覚えてしまえば、「どれか1つを示せば証明完了」という明確なゴールが見えてくる。この記事では、5つの条件を図解とアニメーションで1つずつ確認していく。
そもそも平行四辺形とは？
平行四辺形の定義から確認しよう。
「向かい合う辺」とは、隣り合っていない辺のことである。四角形ABCDでいえば、辺ABと辺CD、辺BCと辺DAがそれぞれ向かい合う辺である。
つまり、AB // CD かつ BC // DA であれば、四角形ABCDは平行四辺形である。これが定義だ。
しかし、毎回「2組の辺が平行」を示すのは大変である。そこで、「これを示せば平行四辺形といえる」という条件が5つ用意されている。
平行四辺形になる5つの条件
以下の5つの条件のうち、どれか1つを満たせばその四角形は平行四辺形である。
| 条件 | 内容 |
|---|---|
| 条件① | 2組の向かい合う辺がそれぞれ平行 |
| 条件② | 2組の向かい合う辺がそれぞれ等しい |
| 条件③ | 2組の向かい合う角がそれぞれ等しい |
| 条件④ | 対角線がそれぞれの中点で交わる |
| 条件⑤ | 1組の向かい合う辺が平行で等しい |
条件①は定義そのものである。条件②〜⑤は、定義とは違う角度から平行四辺形を特定する方法だ。
5つの条件を図で理解する
それぞれの条件がどのような状態を表しているか、図で確認しよう。ボタンを押すと、各条件のポイントが順番に表示される。
アニメーションで確認したように、どの条件も「向かい合う辺」や「向かい合う角」「対角線」に注目している。問題を解くときは、これらの要素を意識して図を見よう。
各条件の詳しい説明
条件① 2組の向かい合う辺がそれぞれ平行（定義）
これは平行四辺形の定義そのものである。
証明問題で「2組の辺が平行」を示せたら、それだけで平行四辺形といえる。
条件② 2組の向かい合う辺がそれぞれ等しい
「それぞれ等しい」とは、ABとDC、ADとBCのように向かい合う辺どうしが等しいということである。隣り合う辺（例：ABとBC）が等しくても、この条件にはならない。
条件③ 2組の向かい合う角がそれぞれ等しい
向かい合う角（対角）がそれぞれ等しければ、平行四辺形である。
条件④ 対角線がそれぞれの中点で交わる
対角線ACと対角線BDの交点をOとすると、
「中点で交わる」とは、交点Oが両方の対角線の真ん中にあるということである。つまり、対角線がお互いを2等分している状態だ。
条件⑤ 1組の向かい合う辺が平行で等しい
この条件は少し特殊である。「平行」と「等しい」を同じ1組の辺で同時に満たせば、残りの1組も自動的に条件を満たす。
条件①〜④は「2組」について調べる必要があるが、条件⑤は「1組」で済む。そのため、証明問題ではこの条件を使うと手順が少なくなることがある。
条件の使い分け：どれを使えばいいか
5つの条件のうち、どれを使うかは問題の状況によって決まる。以下の表を参考にしよう。
| 問題で与えられている情報 | 使いやすい条件 |
|---|---|
| 平行線が与えられている | 条件①または条件⑤ |
| 合同な三角形がある | 条件②または条件④ |
| 角度の情報がある | 条件③ |
| 中点が与えられている | 条件④ |
| 1組の辺の情報がある | 条件⑤ |
例題で条件の使い方を確認する
実際の証明問題で、条件をどう使うか見てみよう。
四角形ABCDにおいて、対角線AC、BDの交点をOとする。AO = CO、BO = DO であるとき、四角形ABCDは平行四辺形であることを証明せよ。
条件④「対角線がそれぞれの中点で交わる」を使う。
証明のポイントは、問題で与えられた条件（AO = CO、BO = DO）が、5つの条件のどれに当てはまるかを見つけることである。この例題では条件④にぴったり当てはまる。
よくある間違いと対策
「1組だけ」等しいのに条件②を使う
条件②は「2組の向かい合う辺がそれぞれ等しい」である。AB = DC だけでは不十分で、AD = BC も示す必要がある。
条件⑤の「平行で等しい」を別々の辺で示す
条件⑤は「AB // DC かつ AB = DC」のように、同じ1組の辺が平行かつ等しい必要がある。「AB // DC かつ AD = BC」では条件⑤にならない。
対角線の長さが等しいだけで条件④を使う
条件④は「対角線がそれぞれの中点で交わる」である。AC = BD（対角線の長さが等しい）だけでは条件④にならない。AO = CO かつ BO = DO を示す必要がある。
5つの条件の覚え方
語呂合わせで覚えよう。
「平平（へいへい）、等等（とうとう）、角角（かくかく）、中中（ちゅうちゅう）、平等（びょうどう）」
- 平平 → 2組の辺が平行（条件①）
- 等等 → 2組の辺が等しい（条件②）
- 角角 → 2組の角が等しい（条件③）
- 中中 → 対角線が中点で交わる（条件④）
- 平等 → 1組の辺が平行で等しい（条件⑤）
この単元のよくある質問
Q. 5つの条件をすべて覚える必要がありますか？
A. はい、5つすべて覚える必要がある。証明問題では、問題の条件に合った条件を選んで使う必要があるため、どれか1つだけ覚えても対応できない。語呂合わせ「平平、等等、角角、中中、平等」で覚えよう。
Q. ひし形や長方形も平行四辺形の条件を満たしますか？
A. はい、満たす。ひし形、長方形、正方形はすべて平行四辺形の一種である。これらは5つの条件をすべて満たした上で、さらに追加の条件（ひし形なら4辺が等しい、長方形なら4角が直角など）を満たしている。
Q. 証明問題で条件を2つ使ってもいいですか？
A. 5つの条件のうち1つを満たせば平行四辺形といえるので、1つで十分である。ただし、条件を満たすことを示すために、合同な三角形を使うなど複数のステップが必要になることはある。
練習問題
まとめ
この記事では、平行四辺形になる5つの条件について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 平行四辺形になる条件は5つあり、どれか1つを満たせば平行四辺形といえる
- 条件①：2組の向かい合う辺がそれぞれ平行（定義）
- 条件②：2組の向かい合う辺がそれぞれ等しい
- 条件③：2組の向かい合う角がそれぞれ等しい
- 条件④：対角線がそれぞれの中点で交わる
- 条件⑤：1組の向かい合う辺が平行で等しい
- 語呂合わせ「平平、等等、角角、中中、平等」で覚えよう
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