証明問題を見た瞬間、「何を書けばいいかわからない」と固まってしまった経験はないだろうか。
公式や定理は覚えているのに、いざ証明を書こうとすると手が止まる。途中まで書いたのに、どこに向かっているのかわからなくなる。そんな悩みを抱えている人は多い。
実は、証明が書けない原因の多くは「仮定と結論の整理ができていない」ことにある。この記事では、証明問題を解くための最初のステップである「仮定と結論の整理」を、図解とアニメーションでわかりやすく解説する。
そもそも「仮定」と「結論」とは？
証明問題には、必ず2つの情報が含まれている。
仮定とは、「問題の中で最初から正しいとされている条件」のことである。「〜ならば」の前にある部分が仮定である。
結論とは、「証明によって導きたいこと」である。「〜ならば」の後ろにある部分が結論である。
具体的に見てみよう。
この文では、
- 仮定：$AB = AC$（2つの辺が等しい）
- 結論：$\angle B = \angle C$（2つの角が等しい）
となる。証明とは、「仮定が正しいとき、結論も正しい」ことを論理的に示す作業である。
仮定と結論を図で理解する
証明の流れを視覚的に確認してみよう。仮定から結論へ、どのように進んでいくかがわかるアニメーションである。
このように、証明は「仮定（スタート）」から「結論（ゴール）」へ向かう道筋を示す作業である。途中で定理や性質を使って、論理をつなげていく。
仮定と結論を整理する手順
実際の問題で、仮定と結論をどう見つけるかを練習しよう。
「〜ならば」を探す
問題文の中から「ならば」「のとき」「とすると」などの言葉を探す。この言葉の前が仮定、後ろが結論である。
仮定を書き出す
問題で「すでにわかっていること」をすべて書き出す。図に書き込むと整理しやすい。
結論を確認する
「何を示せばよいか」を明確にする。証明のゴールを見失わないために、最初に確認しておく。
例題：仮定と結論を整理してみよう
次の問題を使って、実際に仮定と結論を整理する練習をしよう。
問題：$\triangle ABC$ において、$AB = AC$ のとき、$\angle B = \angle C$ であることを証明せよ。
この問題を整理すると、次のようになる。
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 仮定 | $AB = AC$（2辺が等しい） |
| 結論 | $\angle B = \angle C$（2角が等しい） |
図の中で、仮定は赤い等辺マークで、結論として示したいことは緑の角度マークで表している。
このように、仮定と結論を図に書き込むことで、「何がわかっていて」「何を示せばよいか」が一目でわかるようになる。
仮定と結論を使った証明の書き方
仮定と結論が整理できたら、次は実際に証明を書いてみよう。証明は以下の形式で書くのが基本である。
仮定を書く
「$AB = AC$ である」のように、問題で与えられた条件を書く。
根拠を示しながら進める
「〜だから」「〜より」「〜なので」といった言葉で、なぜそう言えるかを説明する。
結論を書く
最後に「よって、$\angle B = \angle C$ である」のように、示したかったことを書いて終わる。
証明の流れを図で確認
先ほどの例題について、仮定から結論への道筋を図で確認してみよう。
仮定から結論へ、「補助線を引く」「三角形の合同を示す」という2つのステップを経て進んでいる。このように、ゴールから逆算して「どんな道具を使えばたどり着けるか」を考えるのが証明のコツである。
よくある間違いと対策
証明問題でよくある間違いを3つ紹介する。
結論を仮定として使ってしまう
「$\angle B = \angle C$ だから〜」と、証明すべきことを最初から使ってしまうミス。これは循環論法と呼ばれ、証明として認められない。
対策：最初に仮定と結論を書き出し、結論は「最後に導くもの」と意識する。
根拠を書かない
「$\triangle ABM \equiv \triangle ACM$」と書くだけで、なぜ合同かを説明しない。
対策：「〜だから」「〜より」を必ず書く習慣をつける。
どこに向かっているかわからなくなる
途中で何を示したかったか忘れてしまう。
対策：問題文の横に「結論：$\angle B = \angle C$」とメモしておく。
この単元のよくある質問
Q. 仮定と結論の見分け方がわかりません。
A. 問題文の「〜ならば」「〜のとき」という言葉を探そう。その前が仮定、後ろが結論である。もしこの言葉がなくても、「問題で与えられている条件」が仮定、「示せ・証明せよ」と言われていることが結論である。
Q. 仮定が複数あるときはどうすればいいですか？
A. すべて書き出して、番号をつけて整理しよう。例えば「$AB = AC$ かつ $\angle A = 60°$ のとき」であれば、仮定①：$AB = AC$、仮定②：$\angle A = 60°$ のように分けて書く。
Q. 証明を書くとき、どこまで詳しく書けばいいですか？
A. 「なぜそう言えるのか」という根拠を必ず書く。例えば「$AB = AC$ だから」ではなく「仮定より $AB = AC$」のように、どこから来た情報かを明確にする。
練習問題
「$\triangle ABC$ において、$\angle A = 90°$ ならば、$BC^2 = AB^2 + AC^2$ である」
「平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わる」
「$\triangle ABC$ において、$M$ は辺 $BC$ の中点である。$AM = BM$ ならば、$\angle BAC = 90°$ であることを証明せよ。」
まとめ
この記事では、証明問題を解くための最初のステップである「仮定と結論の整理」について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 仮定：問題で最初から正しいとされている条件（「〜ならば」の前）
- 結論：証明によって導きたいこと（「〜ならば」の後ろ）
- 仮定と結論を最初に整理し、図に書き込むと証明が書きやすくなる
- 証明は「仮定→根拠を示しながら進める→結論」の流れで書く
仮定と結論を正しく整理できれば、証明の半分は終わったようなものである。次は、具体的にどんな定理や性質を使うかを学んでいこう。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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