「垂直二等分線を作図しなさい」と言われて、コンパスをどう使えばいいか迷ったことはないだろうか。
手順を丸暗記しようとして、すぐに忘れてしまう。何となく線を引いてみたけれど、なぜそれで正解なのかわからない。そんな経験をした人は多いはずである。
実は、垂直二等分線の作図は「2つの円を描いて、交点を結ぶだけ」という単純な手順でできる。この記事では、なぜこの方法で垂直二等分線が描けるのかを図解し、迷わず作図できるようになるまで解説する。
そもそも垂直二等分線とは？
垂直二等分線とは、ある線分を「垂直に」「二等分する」直線のことである。
「垂直」とは、2つの直線が直角（90°）に交わることである。「二等分」とは、2つの等しい長さに分けることである。
たとえば、線分ABがあるとき、その垂直二等分線は次の2つの性質を持つ。
- 線分ABの中点を通る
- 線分ABと直角に交わる
ここで重要なポイントがある。垂直二等分線上のどの点をとっても、2点A, Bからの距離が等しいのである。
この性質は非常に重要である。「2点から等しい距離にある点の集まり」が垂直二等分線なのだ。
垂直二等分線を図で理解する
まず、垂直二等分線がどのようなものか、そしてなぜ「2つの円の交点」を使うのかを視覚的に確認しよう。
アニメーションで確認したように、垂直二等分線上の点Pは、点Aからも点Bからも同じ距離にある。これが作図の原理となる。
なぜ「2つの円の交点」で作図できるのか
コンパスで描く円は、「中心からの距離が等しい点の集まり」である。
いま、点Aを中心として半径rの円を描くと、円上のすべての点は「点Aからの距離がr」である。同様に、点Bを中心として同じ半径rの円を描くと、円上のすべての点は「点Bからの距離がr」である。
この2つの円が交わる点は、「点Aからの距離がr」かつ「点Bからの距離がr」という条件を満たす。つまり、2点A, Bから等しい距離にある点である。
2つの円の交点P, Qはどちらも「AとBから等距離」にある。したがって、PとQを結んだ直線は垂直二等分線となる。
垂直二等分線の作図手順
それでは、実際の作図手順を確認しよう。定規とコンパスだけで作図できる。
線分ABを描く
まず、垂直二等分線を引きたい線分ABを用意する。
点Aを中心に円を描く
コンパスの針を点Aに置き、ABの長さの半分より大きい半径で円（または円弧）を描く。
半径が小さすぎると、次の円と交わらないので注意。ABの長さの半分より大きければOKである。
点Bを中心に、同じ半径で円を描く
コンパスの開きを変えずに、針を点Bに移して円（または円弧）を描く。2つの円が2点で交わる。
2つの交点を直線で結ぶ
定規を使って、2つの円が交わった点P, Qを結ぶ。この直線が線分ABの垂直二等分線である。
よくある間違いと対策
垂直二等分線の作図でよくある間違いを確認しておこう。
2つの円の半径が違う
AとBで描く円の半径は必ず同じにする。コンパスの開きを途中で変えてしまうと、交点が垂直二等分線上にならない。
対策：手順②から③の間でコンパスを閉じない。
半径が小さすぎて円が交わらない
半径がABの半分より小さいと、2つの円が交わらず、作図できない。
対策：半径はABの半分より明らかに大きくとる（ABの長さと同じくらいが安全）。
交点を目分量で結んでしまう
円弧が薄かったり、交点がはっきりしないと、つい適当に線を引いてしまう。
対策：円弧ははっきり描き、交点に小さな点を打ってから直線を引く。
よくある質問と答え
Q. 半径はABの長さの半分より大きければ、どんな長さでもいいのですか？
A. はい、半分より大きければ円が交わるので作図できる。ただし、極端に大きいと円弧が用紙からはみ出すので、ABと同じくらいの長さが描きやすい。
Q. なぜ交点を結ぶとABと垂直になるのですか？
A. 点Pと点Qはどちらも「AとBから等距離」にある。この2点を結ぶ直線は、線分ABに対して対称な位置関係になるため、必ず垂直に交わる。
Q. 円全体を描く必要がありますか？
A. いいえ、交点さえわかれば十分なので、円弧（円の一部）だけ描けばよい。試験では円弧だけ描くのが一般的である。
練習問題
垂直二等分線上の点は、2点A, Bから（ ）距離にある。
ア. 同じ半径でなければならない
イ. 異なる半径でもよい
ウ. ABの長さと同じでなければならない
まとめ
この記事では垂直二等分線の作図について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 垂直二等分線とは、線分の中点を通り、その線分と垂直に交わる直線である
- 垂直二等分線上の点は、線分の両端から等距離にある
- 作図は「同じ半径の2つの円を描き、交点を結ぶ」だけでできる
- 半径は線分の長さの半分より大きくとる
この手順を覚えて、くり返し練習すれば必ずできるようになる。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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