「グラフを見て式を答えよ」という問題で、何をどう読み取ればいいのかわからない——そんな経験はないだろうか。
座標を読み間違えたり、比例と反比例を取り違えたり、式の形をど忘れしたり。グラフの読み取り問題でつまずく人は多い。
実は、グラフ問題には「読み取る順番」がある。この記事では、水そうに水を入れる場面を例に、グラフから式を導く手順を徹底解説する。
グラフの読み取りで確認すべき3つのポイント
比例・反比例のグラフを読み取るとき、次の3つを順番に確認する。
比例定数とは、比例の式 $y = ax$ や反比例の式 $y = \dfrac{a}{x}$ に出てくる $a$ のことである。グラフの傾きや曲がり具合を決める数だ。
例題：水そうのグラフを読み取る
次のグラフは、空の水そうに一定の割合で水を入れたときの、時間 $x$ 分と水量 $y$ リットルの関係を表している。
ステップ1：グラフの形を確認する
このグラフは原点 O を通る直線である。
原点を通る直線は比例のグラフだ。したがって、式は $y = ax$ の形になる。
もしグラフが曲線（双曲線）なら反比例である。比例と反比例の見分け方は「原点を通る直線か、曲線か」で判断できる。
ステップ2：座標を読み取る
グラフ上の点を1つ選び、その座標を読み取る。
赤い点に注目すると、この点は $x = 4$、$y = 20$ の位置にある。
つまり、「4分後に水量が20リットル」ということだ。
座標を読むときは、グリッド線（補助線）を使って慎重に確認しよう。目盛りの単位（1目盛りがいくつか）も要チェックだ。
ステップ3：比例定数 $a$ を求める
比例の式 $y = ax$ に、読み取った座標 $(4, 20)$ を代入する。
したがって、式は $y = 5x$ である。
答えの意味を確認する
$y = 5x$ は「1分あたり5リットルずつ水が増える」ことを表している。
| $x$（分） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$（L） | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
たしかにグラフと一致している。
グラフ読み取りの手順をアニメーションで確認
グラフから式を求める流れを、順を追って見てみよう。
アニメーションの流れ：
- まず、グラフが原点を通る直線であることを確認（比例と判断）
- 次に、グラフ上の点 $(4, 20)$ の座標を読み取る
- 最後に、$a = \dfrac{20}{4} = 5$ と計算し、$y = 5x$ を得る
反比例グラフの読み取り
比例だけでなく、反比例のグラフも読み取れるようになろう。
反比例グラフの特徴
このグラフは原点を通らない曲線（双曲線）である。
曲線のグラフは反比例だ。式は $y = \dfrac{a}{x}$ の形になる。
比例定数の求め方
グラフ上の点 $(2, 6)$ を読み取り、反比例の式に代入する。
したがって、式は $y = \dfrac{12}{x}$ である。
反比例の比例定数は $a = xy$（$x$ と $y$ の積）で求められる。比例の $a = \dfrac{y}{x}$ と混同しないこと。
比例と反比例の見分け方まとめ
| 比例 | 反比例 | |
|---|---|---|
| グラフの形 | 原点を通る直線 | 曲線（双曲線） |
| 式の形 | $y = ax$ | $y = \dfrac{a}{x}$ |
| $a$ の求め方 | $a = \dfrac{y}{x}$ | $a = xy$ |
よくある間違いと対策
目盛りの単位を確認せずに読むと、「1目盛り=1」と思い込んで間違える。まず「1目盛りがいくつか」を確認しよう。
比例は $a = \dfrac{y}{x}$、反比例は $a = xy$ である。「比例は割る、反比例は掛ける」と覚えておこう。
$a = 5$ と求めたあと、$y = 5$ と書いてしまう人がいる。比例なら $y = 5x$、反比例なら $y = \dfrac{5}{x}$ である。
この単元のよくある質問
Q. グラフ上に読みやすい点がないときはどうすればいいですか？
A. グリッド線（補助線）の交点を探そう。$x$ と $y$ がともに整数になる点を選ぶと計算しやすい。もし整数の点がなければ、できるだけ目盛りに近い点を慎重に読み取る。
Q. 比例定数 $a$ がマイナスになることはありますか？
A. ある。比例で右下がりの直線なら $a < 0$、反比例で第2・第4象限を通る曲線なら $a < 0$ である。座標の符号に注意して計算しよう。
Q. 反比例のグラフが原点を通らないのはなぜですか？
A. 反比例の式 $y = \dfrac{a}{x}$ で $x = 0$ を代入すると分母が0になり、計算できない。だから反比例のグラフは原点に近づくが、決して通らない。
練習問題
まとめ
この記事では、比例・反比例のグラフから式を求める方法を学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 原点を通る直線 → 比例（$y = ax$）、曲線 → 反比例（$y = \dfrac{a}{x}$）
- グラフ上の点の座標を正確に読み取る
- 比例定数は、比例なら $a = \dfrac{y}{x}$、反比例なら $a = xy$ で求める
- 目盛りの単位と座標の読み取りは慎重に
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