「この問題、比例？反比例？どっち？」——テストのたびにこの判断で迷っている人は多い。
公式は覚えているのに、いざ問題を見ると「どちらに当てはめればいいかわからない」という状態ではないだろうか。実は、反比例かどうかを見分けるコツはたった1つ。「$xy$の積が一定かどうか」を調べるだけである。
この記事では、反比例の判定方法を、具体的な数値と図を使って「迷わず判断できる」レベルまで身につけてもらう。
そもそも反比例とは？
まず、反比例の定義を確認しよう。
反比例とは、2つの数量 $x$ と $y$ の関係が $y = \dfrac{a}{x}$（$a$ は0でない定数）の形で表せるとき、「$y$ は $x$ に反比例する」という。この $a$ を比例定数と呼ぶ。
この式を変形すると、大事なことがわかる。
両辺に $x$ をかけると、
つまり、反比例では「$x$ と $y$ の積が常に一定」になる。この「積が一定」という性質が、反比例を見分けるカギである。
比例と反比例の違い
比例と反比例を比較すると、判定基準がはっきりする。
| 関係 | 式の形 | 特徴 | 判定方法 |
|---|---|---|---|
| 比例 | $y = ax$ | $x$ が増えると $y$ も増える | $\dfrac{y}{x}$ が一定 |
| 反比例 | $y = \dfrac{a}{x}$ | $x$ が増えると $y$ は減る | $xy$ が一定 |
比例は「商（割り算）が一定」、反比例は「積（かけ算）が一定」と覚えておこう。
反比例の判定を図で理解する
反比例では、$xy$（$x$ と $y$ の積）が常に同じ値になる。これを図で確認してみよう。
アニメーションを再生すると、グラフ上のどの点でも $xy = 12$ になることがわかる。この「積が一定」という性質が、反比例の証拠である。
反比例の判定手順
表やグラフから「反比例かどうか」を判定する手順を確認しよう。
$xy$ の積を計算する
表の各行について、$x$ と $y$ をかけ算する。
積がすべて同じ値か確認する
全ての組で $xy$ が同じ値なら、反比例である。
比例定数を読み取る
一定になった $xy$ の値が比例定数 $a$ である。式は $y = \dfrac{a}{x}$ となる。
例題で手順を確認
次の表が反比例を表しているか判定し、反比例なら式を求めよう。
| $x$ | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | 12 | 8 | 6 | 4 | 3 |
【解答】
まず、各組の $xy$ を計算する。
すべての組で $xy = 24$ となる。よって、この関係は反比例である。
比例定数は $a = 24$ なので、式は
反比例ではない例
次の表が反比例かどうか判定してみよう。
| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| $y$ | 8 | 6 | 4 | 2 |
各組の $xy$ を計算する。
$xy$ の値が $8, 12, 12, 8$ と一定ではない。よって、この関係は反比例ではない。
「$x$ が増えると $y$ が減る」というだけでは反比例とは言えない。必ず「$xy$ が一定」かどうかで判定しよう。
よくある間違いと対策
「減っているから反比例」と早とちり
$x$ が増えて $y$ が減る関係は反比例以外にもある。必ず $xy$ を計算して一定か確認すること。
比例定数と勘違いする
比例は「$\dfrac{y}{x}$ が一定」、反比例は「$xy$ が一定」である。割り算と掛け算を間違えないこと。
一部の組だけで判断する
2〜3組だけ計算して「一定だ」と判断するのは危険。全ての組で確認すること。
この単元のよくある質問
Q. 比例と反比例、どちらを先に調べればいいですか？
A. 問題によって効率的な方を選ぶとよい。表を見て「$x$が増えると$y$も増えている」なら比例を、「$x$が増えると$y$が減っている」なら反比例を先に調べると効率がよい。ただし、最終的には計算で確認することが大切である。
Q. $xy$の積が負の数でも反比例といえますか？
A. いえる。$xy = -6$（一定）なら、$y = -\dfrac{6}{x}$ という反比例である。比例定数 $a$ は負の数になることもある。
Q. $x = 0$ のときはどうなりますか？
A. 反比例の式 $y = \dfrac{a}{x}$ では、$x = 0$ のとき分母が0になるため定義できない。そのため、反比例のグラフは原点を通らない。表に $x = 0$ の値は含まれない。
練習問題
| $x$ | 1 | 2 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| $y$ | 20 | 10 | 4 | 2 |
| $x$ | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| $y$ | 9 | 7 | 5 | 3 |
まとめ
この記事では、反比例の判定方法について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 反比例の判定は「$xy$ が一定かどうか」で行う
- 比例は「$\dfrac{y}{x}$ が一定」、反比例は「$xy$ が一定」
- 「減っているから反比例」ではなく、必ず計算で確認する
- 一定になった $xy$ の値が比例定数 $a$ となり、式は $y = \dfrac{a}{x}$
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
コメント