「反比例の式って、なんで $y = \dfrac{a}{x}$ なの？」と疑問に思ったことはないだろうか。
比例は $y = ax$ で覚えやすいのに、反比例になると急に分数が出てきて混乱する。式を覚えても、どう使えばいいかわからない。そんな声をよく聞く。
実は、反比例の式には「積が一定」というシンプルな法則が隠れている。この法則さえ理解すれば、式の意味も使い方も自然とわかるようになる。
この記事では、反比例の式 $y = \dfrac{a}{x}$ の意味を、具体例と図解で順を追って解説する。
そもそも反比例とは？
前回の記事で学んだように、反比例とは「一方が2倍、3倍になると、もう一方が $\dfrac{1}{2}$ 倍、$\dfrac{1}{3}$ 倍になる関係」のことである。
反比例の「反」は「反対」の意味。比例とは反対の動きをすることからこの名前がついた。
例えば、12個のクッキーを何人かで分ける場面を考えてみよう。
| 人数 $x$（人） | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1人あたり $y$（個） | 12 | 6 | 4 | 3 | 2 | 1 |
人数が増えると、1人あたりの個数は減る。これが反比例である。
「積が一定」という法則
ここで、上の表の $x$ と $y$ を掛け合わせてみよう。
| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | 12 | 6 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| $x \times y$ | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 |
どの組み合わせでも、$x \times y = 12$ になっている。
これが反比例の最も重要な性質である。
この「一定の数」を比例定数と呼び、記号 $a$ で表す。比例のときと同じ名前だが、意味が少し違うので注意。
反比例の式を図で理解する
「積が一定」という法則から、反比例の式がどのように導かれるか、アニメーションで確認しよう。
式の導出を言葉で整理すると、次のようになる。
$a$ は比例定数と呼ばれる。反比例では $a = xy$（積）で求められる。
比例定数 $a$ の求め方
反比例の式を作るには、まず比例定数 $a$ を求める必要がある。
$a$ の求め方は簡単。$x$ と $y$ の値を掛け合わせればよい。
例えば、$x = 3$ のとき $y = 8$ ならば：
よって、反比例の式は $y = \dfrac{24}{x}$ となる。
比例定数の意味をグラフで見る
比例定数 $a$ が変わると、グラフの形はどう変わるだろうか。アニメーションで確認してみよう。
アニメーションからわかること：
- $a$ が大きいほど、グラフは原点から離れた位置を通る
- $a$ が正のとき、グラフは第1象限と第3象限を通る
- どのグラフも、$x$ 軸や $y$ 軸に交わることはない
象限とは、座標平面を $x$ 軸と $y$ 軸で4つに分けた領域のこと。右上が第1象限、反時計回りに第2、第3、第4象限と呼ぶ。
例題で手順を確認しよう
実際に反比例の式を求める問題を解いてみよう。
例題：$y$ は $x$ に反比例し、$x = 4$ のとき $y = 6$ である。$y$ を $x$ の式で表せ。
これが答えである。
よくある間違いと対策
反比例の式で間違いやすいポイントを3つ紹介する。
比例は $a = \dfrac{y}{x}$（割り算）だが、反比例は $a = x \times y$（掛け算）である。「反比例 = 積が一定」と覚えよう。
それは比例の式である。反比例は $y = \dfrac{a}{x}$ と分数の形になる。
$y = \dfrac{a}{x}$ で $x = 0$ を代入すると、0で割ることになり計算できない。反比例のグラフが $y$ 軸と交わらないのはこのためである。
この単元のよくある質問
Q. 比例定数 $a$ が負の数になることはありますか？
A. ある。例えば $x = 2$、$y = -6$ のとき、$a = 2 \times (-6) = -12$ となる。$a$ が負のとき、グラフは第2象限と第4象限を通る。
Q. 反比例の式 $y = \dfrac{a}{x}$ は $xy = a$ と書いても同じですか？
A. 同じである。$y = \dfrac{a}{x}$ の両辺に $x$ を掛けると $xy = a$ になる。問題に応じて使いやすい形を選べばよい。
Q. 反比例のグラフはなぜ曲線になるのですか？
A. $x$ が大きくなると $y = \dfrac{a}{x}$ の値は小さくなり、$x$ が小さくなると $y$ の値は大きくなる。この変化が一定の割合ではないため、直線にならず曲線になる。
練習問題
まとめ
この記事では、反比例の式 $y = \dfrac{a}{x}$ について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 反比例では「$x \times y$ = 一定」という法則が成り立つ
- 比例定数 $a$ は $a = x \times y$（積）で求める
- 反比例の式は $y = \dfrac{a}{x}$ の形で表す
- $a$ が大きいほど、グラフは原点から離れる
次回は、反比例のグラフの書き方と読み取り方を学ぼう。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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