「点が動くと面積はどう変わるのか」——この問いに答えられずに固まってしまう人は多い。
動点の問題では、時間や距離と面積の関係を式で表す必要がある。しかし、何を変数にすればよいのか、どこから手をつければよいのかがわからず、手が止まってしまう。
実は、動点問題は「変わるもの」と「変わらないもの」を見分けるだけで、驚くほどスッキリ整理できる。この記事では、比例を使った動点と面積の問題を、図解とステップ形式で順を追って解説する。
そもそも動点問題とは？
動点問題とは、図形の辺の上を点が動くとき、それにともなって変化する量（面積や長さなど）を求める問題である。
動点とは、「動く点」のことである。問題文では「点Pが毎秒1cmの速さで動く」のように表現される。
例えば、次のような問題が典型的である。
「長方形ABCDの辺AB上を点Pが毎秒2cmの速さで動く。このとき、三角形APDの面積 $y$ を、点Pが動いた時間 $x$ 秒を使って表せ。」
この問題では、時間 $x$ が増えると点Pの位置が変わり、それに応じて面積 $y$ も変わる。この「$x$ が変わると $y$ も変わる」という関係を式で表すのが目標である。
動点問題の考え方を図で理解する
動点問題では、次の3つを順番に確認することが大切である。
以下のアニメーションで、点Pが動くと三角形の面積がどう変わるかを確認しよう。
アニメーションを見ると、次のことがわかる。
- 点Pが右に動くと、APの長さが長くなる
- 三角形APDの底辺をAPとすると、高さADは一定（変わらない）
- したがって、面積は「底辺の長さに比例する」
動点問題の解き方手順
ここでは、具体的な例題を使って解き方を確認しよう。
例題：長方形ABCDがあり、AB = 12cm、AD = 8cm である。点Pは頂点Aを出発し、辺AB上を毎秒2cmの速さでBに向かって動く。点Pが出発してから $x$ 秒後の三角形APDの面積を $y$ cm²とするとき、$y$ を $x$ の式で表せ。
点Pは毎秒2cm動くので、$x$ 秒後には
三角形APDの高さはADであり、これは長方形の辺なので一定である。
三角形の面積 = 底辺 × 高さ ÷ 2 なので
点PはAからBまで動く。AB = 12cm、毎秒2cmなので
変域とは、変数 $x$ がとりうる値の範囲のことである。ここでは、0秒から6秒までが範囲となる。
答え：$y = 8x$（$0 \leq x \leq 6$）
比例であることを確認する
今求めた式 $y = 8x$ は、$y = ax$ の形をしているので、$y$ は $x$ に比例している。
比例の式 $y = ax$ において、$a$ を比例定数という。この例題では $a = 8$ である。
この比例定数 $a = 8$ は何を表しているだろうか。
$x$ が1増えると（つまり1秒経つと）、面積 $y$ は8cm²増える。これは「1秒あたりの面積の増え方」を表している。
グラフを見ると、原点を通る直線になっている。これが比例のグラフの特徴である。
よくある間違いと対策
「毎秒2cm」は速さであり、長さではない。$x$ 秒後の長さは「速さ × 時間」で求める。
NG：AP = 2cm → OK：AP = 2x cm
点Pは無限に動けるわけではない。問題の図形の範囲内でしか動けないので、$x$ の範囲（変域）を必ず書く。
三角形の面積を求めるとき、底辺と高さは垂直（90°）でなければならない。長方形内の三角形では、辺の向きに注意する。
この単元のよくある質問
Q. 底辺と高さのどちらを $x$ の式で表せばよいですか？
A. 動点Pによって長さが変わる方を $x$ の式で表す。変わらない方は問題文の数値をそのまま使う。例えば、点Pが辺AB上を動くなら、APやBPの長さが変わるので、これらを $x$ を使って表す。
Q. なぜ面積の式が比例になるのですか？
A. 三角形の面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」で求める。高さが一定のとき、面積は底辺の長さだけで決まる。底辺の長さが $x$ に比例するので、面積も $x$ に比例する。一般に、$y = (\text{定数}) \times x$ の形なら $y$ は $x$ に比例する。
Q. 変域はいつも書かなければいけませんか？
A. 動点問題では必ず書く。点が動ける範囲は限られているので、$x$ がとりうる値にも範囲がある。変域を書かないと、実際にはありえない状況も含んでしまうため、正確な答えとは言えない。
練習問題
(1) $y$ を $x$ の式で表せ。
(2) 三角形APDの面積が16cm²になるのは、出発してから何秒後か。
まとめ
この記事では、比例を使った動点と面積の問題について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 動点問題では「変わるもの」と「変わらないもの」を見分ける
- 「毎秒○cm」と「○秒後の長さ」を区別する（長さ = 速さ × 時間）
- 面積の公式に代入して $y = ax$ の形に整理する
- 変域（$x$ の範囲）を必ず書く
動点問題は一見複雑に見えるが、手順通りに進めれば確実に解ける。まずは基本の形に慣れることから始めよう。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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