「ばねに重りをつるすと伸びる」——これは誰でも知っている。しかし、「何グラムで何センチ伸びるか」と聞かれると、途端に手が止まる人が多い。
テストで出てくるばねの問題、なんとなく公式っぽいものを使って解こうとするけれど、数字を当てはめる場所がわからない。グラフを読み取る問題では、目盛りの見方で迷ってしまう。そんな経験はないだろうか。
実は、ばねの問題は「比例」の考え方さえ身につければ、すべて同じパターンで解ける。この記事では、ばねの伸びと重さの関係を、具体的な数値と図解で順を追って説明する。読み終わる頃には、どんな数字が出てきても迷わず解けるようになる。
そもそも「ばねの伸び」と「比例」の関係とは？
ばねに重りをつるすと、ばねは伸びる。このとき、重りの重さを2倍にすると、ばねの伸びも2倍になる。重さを3倍にすると、伸びも3倍になる。
このように、一方が2倍、3倍になると、もう一方も2倍、3倍になる関係を「比例」という。
比例とは、2つの量の間に「片方が○倍になると、もう片方も○倍になる」という関係があることである。
具体的な例を見てみよう。
| 重さ（g） | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|
| 伸び（cm） | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
重さが10gから20gに2倍になると、伸びも2cmから4cmに2倍になっている。重さが10gから50gに5倍になると、伸びも2cmから10cmに5倍になっている。これが比例の関係である。
比例の式を立てる方法
比例の関係にある2つの量は、次の式で表せる。
$y$ は伸び（cm）、$x$ は重さ（g）、$a$ は比例定数（1gあたり何cm伸びるか）を表す。
先ほどの表で、比例定数 $a$ を求めてみよう。
重さ10gのとき、伸びは2cmである。これを式に当てはめる。
つまり、このばねは「1gあたり0.2cm伸びる」ということである。
したがって、ばねの伸びと重さの関係は次の式で表せる。
ばねの伸びを図で理解する
ばねの伸びと重さの関係をグラフで見てみよう。横軸に重さ、縦軸に伸びをとると、原点を通る直線になる。
グラフを見ると、すべての点が一直線上に並んでいることがわかる。これが比例の特徴である。比例のグラフは必ず原点（0, 0）を通る直線になる。
ばねの問題を解く手順
ばねの問題には、主に次の2つのパターンがある。
パターン1：比例定数を求める問題
パターン2：伸び（または重さ）を求める問題
それぞれの解き方を見ていこう。
パターン1：比例定数を求める
例題1：ばねに40gの重りをつるしたら、6cm伸びた。比例定数を求めよ。
答え：$a = 0.15$（1gあたり0.15cm伸びる）
パターン2：伸び（または重さ）を求める
例題2：上の例題1のばねに、60gの重りをつるすと何cm伸びるか。
答え：9cm
例題3：上の例題1のばねを12cm伸ばすには、何gの重りが必要か。
答え：80g
ばねの「自然長」に注意しよう
ここまでは「伸び」について考えてきた。しかし、問題によっては「ばねの長さ」を聞かれることがある。
自然長とは、ばねに何もつるしていないときの長さのことである。
ばねの長さ ＝ 自然長 ＋ 伸び
この関係を忘れないようにしよう。
例題4：自然長が5cmのばねに、30gの重りをつるしたら、ばねの長さが11cmになった。このばねに50gの重りをつるすと、ばねの長さは何cmになるか。
答え：15cm
よくある間違いと対策
問題文をよく読み、「伸び」を聞かれているのか「長さ」を聞かれているのか確認しよう。長さを聞かれている場合は、自然長を足すことを忘れずに。
$a = 0.2$ なら「1gあたり0.2cm伸びる」という意味である。この意味がわかっていれば、検算もしやすくなる。
$a$ を求めるときは「伸び ÷ 重さ」である。「重さ ÷ 伸び」ではないので注意しよう。
この単元のよくある質問
Q. 比例定数が小数になったら間違い？
A. 間違いではない。ばねの問題では、比例定数が0.2や0.15のような小数になることが多い。分数のまま答えてもよいし、問題の指示に従おう。
Q. グラフから比例定数を読み取るには？
A. グラフ上の点を1つ選び、その点の座標（重さ, 伸び）を読み取って、「伸び ÷ 重さ」を計算すればよい。原点以外のどの点を選んでも同じ値になる。
Q. 実際のばねは本当に比例するの？
A. 実際のばねも、ある範囲内では比例する（これをフックの法則という）。ただし、重りが重すぎるとばねが伸びきってしまい、比例しなくなる。中学の問題では、比例する範囲で出題される。
練習問題
まとめ
この記事では、ばねの伸びと重さの関係について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- ばねの伸びと重さは比例の関係にあり、$y = ax$ で表せる
- 比例定数 $a$ は「伸び ÷ 重さ」で求める
- 「伸び」と「長さ」を区別する（長さ = 自然長 + 伸び）
比例の考え方がわかれば、どんな数値が出てきても同じ手順で解ける。繰り返し練習して、手が自然に動くようになろう。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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