グラフから座標を読み取ったのに、なぜか式が合わない——そんな経験はないだろうか。
「点の位置は見えているのに、$y = ax$ の $a$ が決められない」「読み取った数字をどこに代入すればいいかわからない」という声をよく聞く。
実は、座標の読み取りと式の決定には明確な手順がある。この記事では、グラフ上の点から座標を正確に読み取り、比例の式を求める方法を、図解とアニメーションで順を追って解説する。
そもそも座標とは？
座標とは、平面上の点の位置を2つの数の組で表したものである。
座標は $(x, y)$ の形で書く。$x$ は横の位置（右が正、左が負）、$y$ は縦の位置（上が正、下が負）を表す。
例えば、点 $(3, 6)$ は「横に3、縦に6の位置にある点」という意味である。
横の軸を $x$ 軸、縦の軸を $y$ 軸という。2つの軸が交わる点 $(0, 0)$ を原点という。
座標の読み取り方を図で理解する
グラフ上の点から座標を読み取る方法を、アニメーションで確認しよう。
座標を読み取る手順は次の通りである。
比例のグラフから式を求める手順
比例の式 $y = ax$ の $a$ を比例定数という。グラフ上の点の座標がわかれば、$a$ を求めることができる。
式を求める手順
比例定数 $a$ は「$y$ を $x$ で割った値」である。言い換えると、$x$ が1増えたときに $y$ がどれだけ増えるかを表す。
例題で手順を確認しよう
次のグラフから、比例の式を求めてみよう。
解答
グラフ上の点 $(-4, 2)$ を使って、比例の式を求める。
よって、答えは
比例定数 $a$ が負の数のとき、グラフは右下がりになる。これは $x$ が増えると $y$ が減ることを意味する。
よくある間違いと対策
$(x, y)$ は「横、縦」の順である。$(3, 6)$ と $(6, 3)$ は別の点になる。「横（$x$）が先」と覚えよう。
$a = \dfrac{y}{x}$ である。$a = \dfrac{x}{y}$ ではない。「$y$ を $x$ で割る」と覚えよう。
原点より左は $x < 0$、原点より下は $y < 0$ である。符号を必ず確認しよう。
このセクションでよくある質問
Q. 原点を通らない直線のグラフは比例ではないのですか？
A. その通りである。比例のグラフは必ず原点 $(0, 0)$ を通る。原点を通らない直線は「一次関数」のグラフであり、$y = ax + b$（$b \neq 0$）という別の式で表される。
Q. グラフ上のどの点を使っても同じ式が求まりますか？
A. 比例のグラフ上の点であれば、どの点を使っても同じ比例定数 $a$ が求まる。ただし、原点 $(0, 0)$ は $a = \dfrac{0}{0}$ となり計算できないので、原点以外の点を選ぼう。
Q. 座標が分数や小数のときはどうすればよいですか？
A. 手順は同じである。例えば点 $(2, 1.5)$ なら、$a = \dfrac{1.5}{2} = 0.75 = \dfrac{3}{4}$ と求める。答えは分数でも小数でもよいが、テストでは分数で答えることが多い。
練習問題
まとめ
この記事では、比例のグラフから座標を読み取り、式を求める方法を学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 座標 $(x, y)$ は「横、縦」の順で読む
- 比例の式 $y = ax$ の $a$ は $a = \dfrac{y}{x}$ で求める
- $a > 0$ なら右上がり、$a < 0$ なら右下がりのグラフになる
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
コメント