「$3(2x+5)$ を計算しなさい」と言われて、どこから手をつければいいか迷っていないだろうか。
カッコの前に数があると、急に難しく感じるかもしれない。しかし安心してほしい。やることは「かけ算を配る」だけである。
この記事を読めば、1次式と数の乗法・除法が迷わずできるようになる。
そもそも1次式の乗法・除法とは？
まず用語を整理しよう。
乗法とは、かけ算のことである。除法とは、わり算のことである。
1次式とは、$x$ や $y$ のような文字が1回だけ出てくる式のことである。例えば $2x+3$ や $5y-1$ が1次式である。
「1次式と数の乗法」とは、カッコで囲まれた1次式に、数をかける計算のことである。
具体的には、次のような計算である。
「1次式と数の除法」とは、カッコで囲まれた1次式を、数でわる計算のことである。
どちらも、分配法則という考え方を使えば簡単に解ける。
分配法則を図で理解する
分配法則とは、「カッコの外の数を、カッコの中の各項に配る」というルールである。
言葉だけでは分かりにくいので、図で見てみよう。
このように、カッコの外にある $3$ を、カッコの中の $2x$ と $5$ の両方にかけるのが分配法則である。
公式として書くと、次のようになる。
1次式と数の乗法の手順
$3(2x+5)$ を例に、計算手順を確認しよう。
カッコの外の数を確認する
この式では、カッコの外の数は $3$ である。
カッコの中の各項に、外の数をかける
項とは、$+$ や $-$ で区切られた部分のことである。$2x+5$ の項は $2x$ と $5$ の2つである。
結果を $+$ でつなぐ
よって、答えは次のようになる。
引き算を含む場合
$4(3x-2)$ のように、カッコの中に引き算がある場合も同じである。
$-2$ を「マイナス2をかける」と考えると、$4 \times (-2) = -8$ となる。
マイナスがカッコの外にある場合
$-2(x+3)$ のように、カッコの外がマイナスの場合は注意が必要である。
途中式を丁寧に書くと、次のようになる。
ポイント：マイナスをかけると、符号が反転する。$+3$ が $-6$ になっていることに注目しよう。
1次式と数の除法の手順
次に、わり算の場合を見てみよう。$(6x+4) \div 2$ を計算する。
わり算を分数に書き換える
カッコの中の各項を、それぞれわる
それぞれを計算する
結果を書く
よって、答えは次のようになる。
除法のアニメーション
よくある間違いと対策
1次式の乗法・除法でよくある間違いを確認しておこう。
間違い① 片方の項にしかかけない
| 間違い | 正解 |
|---|---|
| $3(2x+5) = 6x + 5$ | $3(2x+5) = 6x + 15$ |
$+5$ にも $3$ をかけ忘れている。カッコの中のすべての項にかけることを忘れずに。
間違い② マイナスの符号を間違える
| 間違い | 正解 |
|---|---|
| $-2(x+3) = -2x + 6$ | $-2(x+3) = -2x – 6$ |
$(-2) \times 3 = -6$ である。マイナス×プラスはマイナスになる。
間違い③ 除法で片方しかわらない
| 間違い | 正解 |
|---|---|
| $(6x+4) \div 2 = 3x + 4$ | $(6x+4) \div 2 = 3x + 2$ |
$4 \div 2 = 2$ を忘れている。すべての項をわることを忘れずに。
この単元のよくある質問
Q. 分配法則と結合法則は何が違うのですか？
A. 分配法則は「カッコの外の数を中の各項に配る」ルールで、$a(b+c)=ab+ac$ のように使います。結合法則は「どこから計算しても結果が同じ」というルールで、$(a+b)+c=a+(b+c)$ のように使います。この記事で扱っているのは分配法則です。
Q. カッコの中に3つ以上の項があるときはどうすればいいですか？
A. 同じように、すべての項にかけます。例えば $2(x+y+3)=2x+2y+6$ となります。項が増えても、1つずつ丁寧にかけていけば大丈夫です。
Q. わり切れないときはどうすればいいですか？
A. 分数のまま答えを書きます。例えば $(5x+3)\div 2=\dfrac{5x}{2}+\dfrac{3}{2}$ となります。係数が分数になっても間違いではありません。
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まとめ
この記事では、1次式と数の乗法・除法について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 乗法：カッコの外の数を、中のすべての項にかける（分配法則）
- 除法：カッコの中のすべての項を、外の数でわる
- マイナスがカッコの外にあるときは、符号の変化に注意する
理解できたら、あとは手を動かすだけである。
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