【連立方程式】道のり・速さ・時間の問題｜「みはじ」の活用
「歩く速さと走る速さで時間が違う」「行きと帰りで速さが変わる」——こんな問題を見て、どこから手をつければいいか分からず困っていないだろうか。
安心してほしい。道のり・速さ・時間の問題は、連立方程式と「みはじ」の公式を組み合わせれば、必ず解ける。
この記事を読めば、速さの文章題を自力で式に変換し、連立方程式で解くことができるようになる。
そもそも「みはじ」とは？
「みはじ」とは、道のり・速さ・時間の関係を表す公式の覚え方である。
道のりとは、移動した距離のことである。「み」は道のり、「は」は速さ、「じ」は時間を表す。
この公式を変形すると、3つの式が得られる。
例えば、時速4kmで3時間歩いたとき、道のりは次のように求められる。
連立方程式で速さの問題を解く手順
道のり・速さ・時間の問題を連立方程式で解くには、以下の3ステップで進める。
何を $x$、$y$ とするか決める
問われている量、または分からない量を文字で置く。
「みはじ」で道のり・時間を式にする
速さ × 時間 = 道のり を使い、$x$、$y$ を含む式を作る。
等しい関係から2つの方程式を立てる
「道のりが等しい」「合計時間が〇〇」などの条件から式を作り、連立方程式を解く。
例題1：追いつく問題
まずは「追いつく」タイプの問題を見てみよう。
問題
兄が家を出発してから10分後に、弟が同じ道を追いかけ始めた。兄は毎分60m、弟は毎分80mで歩くとき、弟が家を出発してから何分後に兄に追いつくか求めなさい。
解き方
文字を決める
弟が兄に追いつくまでの時間を $x$ 分とする。
追いつくとは、2人が同じ場所にいること。つまり「2人の道のりが等しくなる」瞬間である。
道のりを式にする
弟が $x$ 分で進む道のりは、速さ × 時間 より
兄は弟より10分早く出発しているので、兄が歩いた時間は $(x + 10)$ 分。
方程式を立てて解く
追いついたとき、2人の道のりは等しいから
右辺を展開する。
移項して整理する。
答え：30分後
例題2：往復の問題（連立方程式）
次は、行きと帰りで速さが違う「往復」タイプの問題である。
問題
A地点からB地点まで、行きは時速4kmで歩き、帰りは時速6kmで走った。往復にかかった時間は合計5時間だった。A地点からB地点までの道のりを求めなさい。
解き方
文字を決める
A地点からB地点までの道のりを $x$ km とする。
行きにかかった時間を $y$ 時間とする。
「みはじ」で式を作る
行き：道のり = 速さ × 時間 より
帰り：時間 = 道のり ÷ 速さ より、帰りにかかった時間は
連立方程式を立てる
合計時間が5時間だから
①を②に代入する。
分数を通分して計算する。
$y = 3$ を①に代入する。
答え：12km
例題3：出会う問題（連立方程式）
次は、2人が反対方向から出発して出会う問題である。
問題
AさんとBさんが10km離れた2地点から同時に向かい合って歩き始めた。Aさんは時速3km、Bさんは時速2kmで歩く。2人が出会うのは出発してから何時間後か求めなさい。
解き方
文字を決める
出会うまでの時間を $x$ 時間とする。
道のりを式にする
Aさんが $x$ 時間で進む道のりは
Bさんが $x$ 時間で進む道のりは
方程式を立てて解く
2人が出会うとき、2人の道のりの和が10kmになるから
左辺をまとめる。
答え：2時間後
よくある間違いと対策
道のり・速さ・時間の問題で間違えやすいポイントを確認しておこう。
単位を揃えない
時速と分速が混在しているとき、どちらかに統一せずに計算してしまう。
対策：問題を読んだら、まず単位を確認する。時速4km = 分速 $\dfrac{4000}{60} = \dfrac{200}{3}$ m のように変換できるようにしておく。
「追いつく」と「出会う」を混同する
追いつく問題では道のりが「等しい」、出会う問題では道のりの「和」が全体の距離になる。
対策：図を描いて、2人がどの位置にいるかイメージする。同じ方向なら「等しい」、向かい合うなら「和」である。
時間差を忘れる
「10分後に出発」のような時間差があるとき、片方の時間を $(x + 10)$ にし忘れる。
対策：先に出発した人の時間は「長くなる」ことを意識する。文字を決めたら、すぐに両者の時間の関係を確認する。
問題パターン整理表
道のり・速さ・時間の問題は、大きく3パターンに分類できる。
| パターン | 状況 | 式の立て方 |
|---|---|---|
| 追いつく | 同じ方向に進む | 道のり = 道のり |
| 出会う | 向かい合って進む | 道のり + 道のり = 全体 |
| 往復 | 行きと帰りで速さが違う | 時間 + 時間 = 合計時間 |
よくある質問と答え
Q. 時速と分速が混在しているとき、どちらに揃えればいいですか？
A. 問題で聞かれている単位に揃えるのが基本である。「何分後か」を聞かれているなら分速に、「何時間後か」なら時速に揃えると計算しやすい。
Q. 「追いつく」と「出会う」を図で区別する方法はありますか？
A. 追いつくは「→ →」と同じ方向に矢印を描く。出会うは「→ ←」と向かい合う矢印を描く。矢印の向きで式の立て方が決まる。
Q. 連立方程式を使わなくても解ける問題はありますか？
A. 例題1の「追いつく問題」のように、文字が1つで済む場合は一次方程式だけで解ける。ただし、行きの時間と道のりの両方が分からない「往復問題」などは連立方程式が必要になる。
練習問題
問題1
太郎くんは家から駅まで、行きは毎分50mで歩き、帰りは毎分100mで走った。往復にかかった時間は合計30分だった。家から駅までの道のりを求めなさい。
問題2
姉が家を出発してから15分後に、妹が自転車で追いかけ始めた。姉は毎分60m、妹は毎分180mで進むとき、妹が家を出発してから何分後に姉に追いつくか求めなさい。
問題3
P地点とQ地点は12km離れている。AさんはP地点から、BさんはQ地点から同時に向かい合って歩き始めた。Aさんは時速4km、Bさんは時速2kmで歩くとき、2人が出会うのは何時間後か求めなさい。
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この記事で連立方程式を使った速さの問題の解き方は理解できた。
しかし正直なところ、「明日テストで出たら解ける自信があるか」と聞かれたらどうだろう。
もし少しでも不安があるなら、あと10問だけ解いてみてほしい。
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まとめ
この記事では、連立方程式を使った道のり・速さ・時間の問題について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 「みはじ」の公式：道のり = 速さ × 時間 を使いこなす
- 追いつく問題は「道のりが等しい」、出会う問題は「道のりの和」で式を立てる
- 時間差がある問題では、先に出発した人の時間を長くすることを忘れない
理解できたら、あとは手を動かすだけである。
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