【連立方程式】A=B=Cの形｜2組の等式に分ける
「$A = B = C$ の形をした連立方程式が出てきた。どう解けばいいか分からない」と困っていないだろうか。
見慣れない形に戸惑うのは当然である。安心してほしい。実は、2組の等式に分けるだけで、いつも通りの連立方程式として解けるのである。
この記事を読めば、$A = B = C$ の形を見た瞬間に「こう分ければいい」と判断できるようになる。
そもそも「A=B=C」とはどういう意味か？
まず、$A = B = C$ という式の意味を確認しよう。
これは「$A$ と $B$ と $C$ の3つがすべて等しい」という意味である。
例えば、$3 = 3 = 3$ は「3と3と3は等しい」という当たり前のことを表している。
では、3つの数が等しいとき、どんな関係が成り立つだろうか。
具体的な数で考えてみよう。$5 = 5 = 5$ のとき、
- $5 = 5$（1番目と2番目は等しい）
- $5 = 5$（2番目と3番目は等しい）
- $5 = 5$（1番目と3番目も等しい）
このように、どの2つを取り出しても等しいのである。
つまり、$A = B = C$ からは次の3つの等式が作れる。
実際に問題を解くときは、このうち2つだけ選べば十分である。3つ目は使わなくても解ける。
「A=B=C」を2組の等式に分ける方法
$A = B = C$ を分けるとき、おすすめの方法は「隣同士を等式にする」ことである。
左側の2つから等式を作る：$A = B$
右側の2つから等式を作る：$B = C$
これで連立方程式ができる。
「$A = C$」を使ってもよいが、隣同士を使う方が式変形がシンプルになることが多い。
例題：実際に解いてみよう
次の連立方程式を解いてみよう。
この式では、
- $A = 3x – 2y$
- $B = x + y$
- $C = 7$
である。
手順1：2組の等式に分ける
隣同士を等式にする。
手順2：それぞれの式を整理する
まず①の式を整理する。
移項とは、等号をまたいで項を移動させることである。移動した項は符号が反転する。
②の式はすでに整理されている。
手順3：連立方程式を解く
整理した2式を並べると、
加減法で解く。②を3倍して①’に加える。
$x = \dfrac{21}{5}$ を②に代入する。
答え：$x = \dfrac{21}{5}, \quad y = \dfrac{14}{5}$
手順4：確かめ
求めた解を元の式 $3x – 2y = x + y = 7$ に代入して確認する。
$x + y$ を計算：
$3x – 2y$ を計算：
どちらも7になったので、正しい解である。
A=B=Cを解く手順まとめ
$A = B = C$ を $\begin{cases} A = B \\ B = C \end{cases}$ に分ける
それぞれの式を「$(\text{式}) = 0$」や「$(\text{式}) = (\text{数})$」の形に整理する
加減法または代入法で連立方程式を解く
求めた解を元の式に代入して確かめる
よくある間違いと対策
間違い：3つの式をすべて作ろうとする
$A = B$、$B = C$、$A = C$ の3つを作る必要はない。2つで十分である。増やしても計算が複雑になるだけである。
間違い：式を整理するときの移項ミス
$3x – 2y = x + y$ を整理するとき、$x + y$ を左辺に移項すると符号が変わる。$-x – y$ になる点に注意。
間違い：確かめを省略する
$A = B = C$ の形は計算が複雑になりやすいので、必ず確かめをしよう。3つの値がすべて一致するか確認する。
この単元のよくある質問
Q. どの2つの等式を選んでも答えは同じになりますか？
A. はい、同じになる。$A = B$ と $B = C$ でも、$A = B$ と $A = C$ でも、最終的な答えは変わらない。ただし、計算量が変わることがあるので、シンプルになりそうな組み合わせを選ぶとよい。
Q. Cが数ではなく文字式のときはどうしますか？
A. 同じように2組の等式に分ければよい。例えば $2x + y = 3x – y = x + 4y$ なら、$2x + y = 3x – y$ と $3x – y = x + 4y$ に分けて解く。
Q. 加減法と代入法、どちらを使うべきですか？
A. どちらでも解ける。$x + y = 7$ のように片方が簡単な形なら代入法が楽なこともある。係数の大きさを見て、消しやすい方を選ぼう。
練習問題
問題1 次の連立方程式を解け。
問題2 次の連立方程式を解け。
問題3 次の連立方程式を解け。
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この記事で「A=B=Cを2組に分ける」という考え方は理解できた。
しかし正直なところ、「明日テストで出たら解ける自信があるか」と聞かれたらどうだろう。
もし少しでも不安があるなら、あと10問だけ解いてみてほしい。
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まとめ
この記事では「$A = B = C$」の形をした連立方程式の解き方を学んだ。ポイントは以下の通りである。
- $A = B = C$ は「隣同士を等式にする」ことで2組に分ける
- $\begin{cases} A = B \\ B = C \end{cases}$ の形にすれば、通常の連立方程式として解ける
- 式を整理してから加減法または代入法を使う
- 求めた解を元の式に代入して、3つの値が一致するか確かめる
理解できたら、あとは手を動かすだけである。
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