【連立方程式】連立方程式とは｜2つの文字、2つの式

そもそも連立方程式とは？

連立方程式とは、2つ以上の方程式を組み合わせたものである。

方程式ほうていしきとは、$x$ や $y$ などの文字を含む等式で、その文字の値を求める問題のことである。例えば $x + 3 = 7$ は方程式であり、$x = 4$ が答えになる。

連立方程式では、2つの文字（$x$ と $y$）を含む式が2つ登場する。

具体例を見てみよう。

この2つの式を同時に成り立たせる $x$ と $y$ の値を見つけるのが、連立方程式を解くということである。

「同時に成り立たせる」とは、1組目の式に $x, y$ を代入しても成り立ち、2組目の式に同じ $x, y$ を代入しても成り立つ、という意味である。

上の例の答えは $x = 6$、$y = 4$ である。

確かめてみよう。

どちらの式も成り立っている。これが連立方程式の「解」である。

なぜ式が2つ必要なのか？

ここで大切な疑問に答えよう。

「文字が2つなら、式も2つ必要」——これが連立方程式の基本ルールである。

なぜだろうか？　具体例で考えてみよう。

式が1つだけの場合

もし式が1つしかなかったらどうなるか。

この式を満たす $x$ と $y$ の組み合わせは、実はたくさんある。

• $x = 1, y = 9$
• $x = 2, y = 8$
• $x = 3, y = 7$
• $x = 5, y = 5$
• …

数えきれないほどの答えがあり、1つに決まらない。

式が2つある場合

ここに2つ目の式 $x – y = 2$ を加えると、状況が変わる。

「$x + y = 10$」と「$x – y = 2$」の両方を満たす組み合わせを探すと、$x = 6, y = 4$ の1組だけになる。

これが「式が2つ必要な理由」である。

日常生活で例えると、「合計で1000円」という情報だけでは、りんごとみかんがそれぞれ何円かわからない。しかし「りんごはみかんより200円高い」という情報が加われば、両方の値段が決まる。

連立方程式の解き方を図で理解する

連立方程式を座標平面ざひょうへいめんで表すと、2本の直線になる。

「2つの式を同時に満たす」とは、2本の直線が交わる点を見つけることである。

赤い直線が $x + y = 10$、緑の直線が $x – y = 2$ を表している。

2本の直線が交わる点 $(6, 4)$ が、連立方程式の解である。

2元1次方程式とは

連立方程式を構成する1つ1つの式を「2元1次方程式にげんいちじほうていしき」と呼ぶ。

「2元」とは「2つの文字（$x$ と $y$）を含む」という意味である。「1次」とは「文字の次数が1」という意味で、$x^2$ や $xy$ のような項を含まないことを表す。

例えば、以下は2元1次方程式である。

• $x + y = 10$
• $2x – 3y = 5$
• $x = 2y + 1$

一方、以下は2元1次方程式ではない。

• $x^2 + y = 10$　（$x^2$ があるので2次）
• $xy = 6$　（$xy$ は2次）

連立方程式の解き方（予告）

連立方程式を解く方法には、主に2つある。

どちらの方法も、「2つの文字を1つに減らす」という考え方が共通している。

具体的な解き方は、次の記事で詳しく解説する。

よくある間違いと対策

この単元のよくある質問

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